吉林省东北师范大学附属中学2024_2025学年高二下学期开学验收考试 数学试题（含解析）.docx

吉林省东北师范大学附属中学2024?2025学年高二下学期开学验收考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．双曲线的渐近线方程为（?????）

A． B． C． D．

2．若，则（????）

A．380 B．190 C．188 D．240

3．已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（???）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

4．在平面直角坐标系中，记d为点到直线的距离，当、变化时，d的最大值为()

A． B．

C． D．

5．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（???）

A． B． C． D．

6．已知空间四点，，，，则四面体的体积为（???）

A． B． C．15 D．

7．在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有

A．20 B．21 C．22 D．24

8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若，的内切圆半径分别为，，则（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、多选题（本大题共3小题）

9．在空间中，下列说法正确的是（???）

A．若，则

B．若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底

C．“向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件

D．，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件

10．已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（????）

A．

B．展开式中不含常数项

C．展开式中项系数为80

D．展开式中各项系数绝对值的和为243

11．“曼哈顿距离”是由赫尔曼?闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（????）

A．

B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2

C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32

D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2

三、填空题（本大题共3小题）

12．若圆与圆相外切，则a的值为．

13．如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为（用数字作答）

14．平行六面体中，，，，则的长是.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.

（1）求m的值；

（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；

（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

16．已知圆与直线相切．

(1)求圆O的标准方程；

(2)若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程．

17．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．

18．如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值.

19．在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴的椭圆过点和点，，，，是椭圆上异于顶点的四个点，直线与相交于点，直线的斜率存在且过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若，求直线的方程；

(3)记，分别为直线与直线的斜率，求的值.

参考答案

1．【答案】C

【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．

【详解】双曲线的渐近线方程为，即，

故选C.

2．【答案】B

【详解】由，得，所以.

故选：B

3．【答案】C

【详解】设点，则，，

因为为的中点，所以，即，

又在圆上，

所以，即，

即点的轨迹方程为.

故选：C.

4．【答案】C

【分析】

为单位圆上一点，直线过定点，则根据几何意义得d的最大值为.

【详解】

为单位圆上一点，

到直线最大距离等于圆心O到直线的最大距离再加上半径1，

又直线过定点，

圆心O到直线的最大距离为圆心O到定点A的距离即OA.

d的最大值为，选C.

5．【答案】A

【详解】由题知，直线的斜率必存在，故设直线方程为：.

联立方程组，消去并整理得.

，

设，，则，.

，，即.

由韦达定理得.

联立方程组，解得或.

.

故选：A.

6．【答案】B

【详解】由题设为边长为的等边三角形，

且，，，

若是面的一个法向量，则，

令，则，

则到面的距离，

所以四面体的体积为.

故选：B

??

7．【答案】B

【详解】根据题