上海市交通大学附属中学2024−2025学年高二下学期开学摸底考试 数学试题（含解析）.docx

上海市交通大学附属中学2024?2025学年高二下学期开学摸底考试数学试题

一、填空题（本大题共12小题）

1．在等差数列中，已知，则．

2．不等式的解集为．

3．已知，则．

4．曲线在点处的切线的斜率为．

5．已知是关于的方程的一个根，则．

6．已知函数是奇函数，则实数的值为．

7．若，则．

8．若直线与直线平行，则实数．

9．已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，若，则．

10．定义：已知一个点集及一点P，任取点集中一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到点集的距离，记作现已知空间中一点P，平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集则点的集合所表示几何体的体积为.

11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为．

12．平面向量为两个相互垂直的单位向量．，满足，，则在方向上的数量投影的取值范围是．

二、单选题（本大题共4小题）

13．关于直线以及平面，下列命题中正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，且，则 D．若，则

14．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（????）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

15．正整数数列满足，使得的不同个数为（????）

A．8 B．7 C．6 D．5

16．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题（本大题共6小题）

17．如图，已知圆柱的高为2，直三棱柱的顶点在圆柱上底面的圆周上，顶点在圆柱下底面的圆周上，已知，为的中点．

(1)求二面角的余弦值；

(2)求到平面的距离．

18．已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前项和.

19．如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点在弧上，且线段平行于线段

(1)若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；

(2)当弧长为多少时，矩形的面积最大？最大值为多少？

20．已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；

(3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

21．已知函数的定义域为，非空集合．若对任意，任意且，都有恒成立，就称函数具有性质．

(1)当时，判断下列函数是否具备性质．

①

②

(2)当，函数，若具有性质，求的取值范围．

(3)当，若且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．

22．已知函数的定义域为，且对任意的，有且．若，求的值．

参考答案

1．【答案】

【详解】设等差数列的公差为，

依题意，，

则，，

即，

所以.

故答案为：

2．【答案】；

【详解】或，

即或，所以不等式的解集为或，

故答案为：.

3．【答案】/-0.5

【详解】已知，则.

故答案为：.

4．【答案】

【详解】由，求导得，则，

所以所求切线的斜率为2.

故答案为：2.

5．【答案】

【详解】因为是关于的方程的一个根，

所以，整理得，

所以，解得，故，

故答案为：．

6．【答案】

【详解】对任意的，，即函数的定义域为，

因为函数是奇函数，则，解得，

此时，，则,

故函数为奇函数，故.

故答案为：.

7．【答案】

【详解】由于，

所以.

故答案为：

8．【答案】

【详解】由于，所以，

解得.

故答案为：

9．【答案】

【详解】根据抛物线的定义可知①，

将代入抛物线方程，得②，

由①②解得.

故答案为：

10．【答案】

【详解】P点构成的几何体由下列几何体构成：

①如图，为已知矩形，其长

则以矩形为公共面的两个长方体，其长，宽，高分别为1，2，1，

此时两个长方体内的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1，两长方体体积和为；

②分别以为轴，底面圆半径为1的两个半圆柱分别在的外侧

此时两个半圆柱表面及内部的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1，