四川省乐山市普通高中2024−2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题.docx

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四川省乐山市普通高中2024?2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．抛物线的准线方程为（??）

A． B． C． D．

2．直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

3．已知直线，直线平行，则实数（???）

A． B． C．或 D．不存在

4．如图，在平行六面体中，设，，，为的中点，则（???）

A． B． C． D．

5．点到直线（为任意实数）距离的最大值为（???）

A． B．1 C． D．2

6．已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（???）

A． B． C． D．

7．某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（???）（参考数据，）.

A．2.5米 B．2.7米 C．2.9米 D．3.1米

8．法国数学家加斯帕尔?蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（???）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知空间向量，，则下列选项正确的是（???）

A． B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．已知和，则下列说法正确的是（???）

A．两圆相交，有两个公共点

B．两圆的公共弦所在直线方程为

C．两圆公共弦长度为

D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为

11．已知过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则下列结论正确的是（???）

A．若点，则的最小值为6

B．若点N为线段AB中点，则点N的坐标可以是

C．若直线的倾斜角为，则

D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知，，则.

13．已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为.

14．已知P是双曲线上一点，过点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足为A，B，且，则的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知圆C的方程为.

(1)求圆C关于直线对称的圆的方程；

(2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值.

16．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，M是的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，，求点M到平面的距离.

17．已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的.

(1)求双曲线C的离心率；

(2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求.

18．如图，等腰梯形ABCD中，，，，，且于E，将沿AE翻折至，使得.

(1)证明：；

(2)求PC与平面PAD所成角的正弦值；

(3)求平面PCD与平面PAD的夹角的余弦值.

19．动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数.

(1)求动点P的轨迹方程E；

(2)过F作斜率不为0的直线与E交于A，B两点，

①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：为定值；

②设点，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D，求点D的纵坐标的最大值.

参考答案

1．【答案】D

【详解】抛物线的焦点在轴上，且开口向右，抛物线的准线方程为，故选D.

2．【答案】B

【详解】，则直线斜率为，

则直线倾斜角满足.

故选：B

3．【答案】A

【详解】由题可得，

解得.

故选：A

4．【答案】D

【详解】.

故选：D

5．【答案】C

【详解】法一：点到直线的距离为，

，

令，当时，，

当时，，由对勾函数的性质可知，

所以，所以，

所以.

法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即.

故选：C.

6．【答案】B

【详解】由题知，，，

所以

.

故选：B

7．【答案】C

【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，

则，，，，

设圆拱桥所在圆的方程为，

由已知得：；

解得，.

故圆的方程为

令，解得

结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.9（米），

故选：C.

8．【答案】D

【详解】如图：

因为椭圆的离心率，所以.

因为，所以，

所以椭圆的蒙日圆C的半径为.

因为，所以为蒙日圆的直径，

所以，所以.

因为，

当时，等号成立.

所以面积的最大