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计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院*欧拉公式–常微分方程2016/2017学年第一学期（16周）微分方程数值解法?在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶常微分方程的初值问题。?我们知道，只要右端函数f(x,y)适当光滑，如关于y满足利普希茨条件理论上就可以保证初值问题的解y=y(x)存在并且唯一。显式欧拉公式?在处的导数可以近似地表示成差商用近似地代替，可将初值问题离散化成为即以上公式称为显式欧拉公式。为了不引起混淆表示解在处的精确值，而表示其近似值。显式欧拉公式几何意义单击此处添加小标题?在显式欧拉公式中，除了外，有单击此处添加小标题和。因此，用显式欧拉公式计算单击此处添加小标题所得到点列的散点图，是一条近似欧拉折线。隐式欧拉公式?在处的导数，可以近似表示成差商用代替，代替，可将初值问题离散化成为即以上公式称为隐式欧拉公式。欧拉公式?公式(1)和(2)均为欧拉公式，但有本质的区添加标题公式，这类公式称作显式的；而式(2)的右端含添加标题方程，这类公式称作隐式的。添加标题别。式(1)是关于的一个可直接进行的计算添加标题有未知的，它实际上是一个关于的计算添加标题欧拉公式?隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为：因为这里，L是f(x,y)关于y的利普希茨常数，如果选取h充分小，使得hL1，则当时，有，这说明以上迭代公式是收敛的。梯形公式?对方程从到积分，得利用数值积分中的梯形公式并将式中的用代替，用代替可导出称此公式为梯形公式。容易看出，梯形公式实际是显式和隐式欧拉公式的算术平均。改进的欧拉公式?可以不难看到，梯形公式虽然提高了精度，但其算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算时，每迭代一次，都要重新计算函数f(x,y)的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大。为了控制计算量，通常只迭代一次就转入下一步的计算，这样就简化了算法。改进的欧拉公式01.?具体的说，先用显式欧拉公式求得的近似02.值，称这个值为预报值，预报值的精度可能03.较差，再将该预报值代入梯形公式，求得，04.称这个值为校正值，校正值的精度会有所提高，05.如此建立的计算公式称为改进的欧拉公式。改进的欧拉公式?在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下形式：预报：校正：改进：例题?例：利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值问题，其中步长。例题?解：欧拉计算公式：改进欧拉计算公式：ONE计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院*
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