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§3.2均值不等式
1．一个常用的均值不等式链
ab
设0，0，则有：
aba2b2
2＋＋
ababab
min{，}≤≤≤≤≤max{，}，
1122
＋
ab
ab
当且仅当＝时，所有等号成立．
ab
若0，则有：
aba2b2
2＋＋
baba
.
1122
＋
ab
2．均值不等式的拓展
ab2a2b2
＋＋
abab
(1)，∈R，都有≤≤成立．
42
a2b2aba2b2abab
(2)＋≥2可以加强为＋≥2||·||，当且仅当||＝||时取等号．
abca2b2c2abbcca
(3)，，∈R，都有＋＋≥＋＋成立．
ab
(4)若ab0，则＋≥2.
ba
3．利用均值不等式求最值的法则
ab
＋
abab
均值不等式≤(，为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值．
2
ab
＋
2
abab
(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即≤，当且仅当＝时，
2
等号成立．
ababab
(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即＋≥2，当且仅当＝时，
等号成立．
注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数
的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．
k
fxxk
4．函数()＝
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