分式及其基本性质.pdf

分式及其基本性质

【教材研学】

一、分式的定义

针对分式的定义可以提出多种类型的问题。比如：如何区分整式与分式；分式何时有

意义、无意义；分式取值情况等。其中分式的取值情况又包括：①分式值为0的条件；②

分式的值何时为正；③分式的值何时为负等．

解题要领是：

分式有意义分母不等于0

分式无意义分母等于0

分式值为0分子等于0，分母不等于0

分式值为正分子、分母同号

分式值为负分子、分母异号

二、分式的基本性质及其应用

1．分式的基本性质

（1）分式的基本性质由六部分组成：

①分式的分子与分母；②都乘以(或除以)；③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分

式的值不变．

（2）类比思想是学习本章的重要思想方法．学习分式的基本性质可与分数的基本性质类

比进行，可以按照下面的顺口溜记：

分数分式不相同，分数上下数值型；分式分母含字母，分数分式要分清；分式上下同

除乘，除乘整式要非零；分式之值不改变，分式分母不为零．

2．分式基本性质的应用

分式的基本性质是分式变形的重要依据．主要用于以下几个方面：

（1）将分子、分母中各项的系数化为整数；

推荐精选

（2）改变分式的分子、分母中部分项的符号(比如：改变分式的首项系数的符号，改

变分式的最高次项的符号等)；

（3）符号化简：分式的分子、分母与分式本身的符号，任意改变其中的两个，分式的

值不变；

（4）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去．

老师：约分是化简分式的一种手段，怎样进行分式的约分?

小刚：有些分式的分子与分母都是单项式，而有些分式的分子与分母中出现了多项式，

约分时步骤应有所不同．

小明：分子与分母都是单项式时，分子与分母的系数约去最大公约数，字母则约去分

子与分母中相同字母的最低次幂．

小勇：若分子与分母中有多项式，不方便直接约分，这时先将多项式分解因式，转化

为乘积的形式，再约分．

老师：约分后，分式的分子与分母应没有公因式，化成最简形式．

三、探究活动

问题：分式何时不能约分?

探究：学习了分式及其基本性质以后，

感受到分式的约分为我们带来了很大的方便，但分式并不是在什么情况下都能约分，下面

从以下几个方面来探究：

xx2

1．判断分式概念时不能约分。比如：判断是整式还是分式，若将其约分

x

xxx(x1)2xx2

x1。根据x一1是整式，因而判断也是整式是错误的．因

xxx

为判断一个代数式是否是分式，应根据分式的定义，分母中有没有字母是判断分式的关键，

本题所给的式子分母中有字母，直接判断为分式·

x

2．确定分式有、无意义及值为零的条件时不能约分.比如：x为何值时，有意

xx2

推荐精选

义?

推荐精选