河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024−2025学年高三下期二模测试（二）数学试题.docx

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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024?2025学年高三下期二模测试（二）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．若（i为虚数单位），则（????）

A． B．1 C． D．

2．已知向量，．若，则实数的值是（????）

A．-2 B．2 C． D．

3．的展开式中的系数为（????）

A．2 B．6 C．4 D．-4

4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（????）

A． B． C． D．

5．若存在满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．已知等比数列的前n项和为，则（???）

A．2 B． C． D．4

7．在中，，则的形状是（????）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

8．如图，已知异面直线成角，公垂线段长度为2．线段两个端点分别在直线上移动，且线段的长度为4，则线段中点的轨迹的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上运动，坐标原点为O．若最小值为2，则下列说法正确的是（???）

A．

B．当点F为的重心时，

C．当点F为的垂心时，以AB为直径的圆与有公共点

D．当A、B两点关于直线对称时，与面积相等

10．如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以为始边，为终边，定义，则（????）

A． B．

C． D．

11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列错误的是（????）

A． B．

C． D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知是奇函数，且当时，.若，则

13．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是.

14．已知正项等比数列的公比不为1，若在的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为.（用最简分数作答）

四、解答题（本大题共5小题）

15．年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会．

(1)求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率；

(2)记小钟的中奖金额为，求的分布列及数学期望．

16．如图，内一点满足.

(1)若，求的值；

(2)若，求的长.

17．如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.

(1)证明；平面；

(2)若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时,与所成角的余弦值.

18．已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．

19．对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数.

(1)判断4和6是否为可分数，并说明理由；

(2)求小于81的最大可分数；

(3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：.

参考答案

1．【答案】C

【详解】由可得，

故，

故选：C

2．【答案】B

【详解】根据已知有：

故选：B.

3．【答案】B

【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数，

又二项式的展开式的通项为，

令，可得，

所以的展开式中的系数为，所以的展开式中的系数.

故选：B.

4．【答案】C

【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面，

对于A，因为，所以共面，故A错误；

对于B，因为，所以共面，故B错误；

对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确；

对于D，因为，所以共面，故D错误；

故选：C.

5．【答案】A

【详解】因为存在满足，

即存在满足，

令，，

因为与在上单调递增，

所以在上单调递增，所以，

所以，即的取值范围是.

故选：A

6．【答案】A

【详解】解：由等比数列性质有，即，解得，

则，

故选：A．

7．【答案】D

【详解】在中，，

又由余弦定理知，，

两式相加得：，

（当且仅当时取“”，又，

（当且仅当时成