上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下3月月考 数学试题（含解析）.docx

上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下3月月考数学试卷

一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题４分，第7-12题每题5分，满分54分）

1.函数在处的瞬时变化率为__________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据瞬时变化率定义计算即可.

【详解】增量为．

函数的平均变化率为，

而．．

故答案为：.

2.若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】

【分析】直接根据指数函数的性质得答案.

【详解】由指数函数性质可得

解得

故答案为：

3.若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．

【详解】因为向量是直线l的一个法向量，

所以直线l的斜率，设直线l的倾斜角为，

则，又，

所以直线l的倾斜角.

故答案为：.

4.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，求解即可.

【详解】由方程表示焦点在轴上的双曲线，

所以，解得，所以的取值范围是．

故答案为：.

5.若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出分段函数的解析式，即可求出其最小值.

【详解】时，，

时，，

时，，

则，

故，

故实数的取值范围是.

故答案为：.

6.若在上的最大值为，则实数的最大值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解.

【详解】由可得，解得或，

由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数在上单调递减，此时；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

由题意可得，此时，.

综上，，因此，实数的最大值为.

故答案为：.

7.若，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据导数的定义求值.

【详解】由题意：，

所以.

故答案为：

8.已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是________.

【答案】

【解析】

【分析】根据条件，求出抛物线的方程，再利用抛物线的定义，即可求解.

【详解】因为点在抛物线上，

所以，解得，

所以抛物线，其准线方程为，

所以点到抛物线焦点的距离是，

故答案为：.

9.已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由点到的轨迹为圆，问题转换成直线与圆有交点即可求解；

【详解】解：设点，

点，，，

，整理得，即点在圆上，

又直线上存在点使得，

圆与直线有交点，

圆心到直线的距离，解得，即.

故答案为：

10.若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为_________.

【答案】或，

【解析】

【分析】分离参数，构造函数，求导得函数的单调性，即可作出函数图象，结合函数图象即可求解.

【详解】由可得，

记，则，

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

又，且当，时，

故作出的大致图象如下：

故有且仅有一个实数，则或，

故答案为：或，

11.“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______．

【答案】10

【解析】

【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积.

【详解】由可得，即，

将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称；

将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称；

根据，对称性可知，只需讨论，即可．

此时，所以，

可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为，

所以的面积为．

故答案为：10.

点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算.

12.已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为______

【答案】6

【解析】

【分析】设，根据复数的几何意义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆；设，则点的轨迹为射线，如图，结合图形可知取得最小值满足题意，结合两点坐标求距离即可求解.

【详解】设，（其中是虚数单位），在复平面的对应点，

则

，

即点的轨迹是以为焦点的椭圆，

且该椭圆的长轴在直线上，短轴在直线上．

长半轴长为，半焦距，短半轴长为．

因为，所以（当且仅当即时等号成立）．

设在复平面的对应点为．

即点的轨迹为射线．如图，

若使得最小，则需取得最小值，

即点为椭圆在第一象限内的短轴端点，点为射线的端点时，最小．

．

故答案为：6

二、选择题（第13、14题每题４分，第15、16题每题5分，满分18分）

13.，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（）

A. B.

C. D.

【答