上海市实验学校2024−2025学年高二上学期期末考试数学试题.docx

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上海市实验学校2024?2025学年高二上学期期末考试数学试题

一、填空题（本大题共10小题）

1．抛物线的准线方程为．

2．对任意实数，直线总经过定点．（写出该定点坐标）

3．椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为．

4．若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为．（用反三角表示）

5．已知方程表示圆，则的取值范围为．

6．平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为．

7．双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为．

8．已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为．

9．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为．

10．在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为．

二、单选题（本大题共4小题）

11．在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（????）

A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称

12．如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（????）

A． B．

C． D．

13．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（????）．

A． B． C． D．

14．设直线的方程为，两不同定点、，点满足，记，若，且线段与直线有交点，则（????）

A． B．

C． D．

三、解答题（本大题共6小题）

15．已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值．

16．如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．

??

(1)求该圆弧所在圆的方程；

(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）

17．如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．

(1)求该平行六面体的表面积；

(2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角；

(3)求异面直线与的所成角．

18．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，．

(1)求双曲线的方程；

(2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；

(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

19．带着数学的眼光看世界，则生活中处处有数学．以一种常见的生活用品——酒杯为例，根据其造型，不妨将其抽象为开口向上的抛物线，并假设其内壁足够光滑.

(1)将一定长度，质量分布均匀，各处粗细相等的小木棍丢入酒杯中，想要研究小木棍自然静止下来后所处位置的特征．查阅资料后可知，物理中有被称为“重心最低”的原理．试将该物理原理抽象为这一抛物线酒杯模型中的数学语言，并借助之给出研究结论.

【注】①请将“抽象出的数学问题：XXX……”与“问题解答：XXX……”分开书写，不明确问题直接开始解答的不得分；

②自行定义必要的字母记号，并配以相应的图形说明．

(2)将许多长短不一（但均足够长）的小木棍丢入酒杯中，待它们全部自然静止后，发现它们全部交汇于同一点，请解释该现象．

20．已知椭圆.

(1)已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；

(2)已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；

(3)设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.

参考答案

1．【答案】

【详解