上海市杨浦高级中学2024-2025学年高三下学期期初摸底考数学试卷（解析版）.docx

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2024－2025学年第二学期高三摸底考数学试卷

（满分：150分，时间：120分钟）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.设集合，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，

根据集合交集的概念与运算，可得.

故答案为：.

2.关于的不等式的解集是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据分式不等式的解法计算即可.

【详解】由可得，即，解之得，或，

所以不等式的解集为.

故答案为：

3.已知函数，则________.

【答案】

【解析】

【分析】判断所在区间，再代入计算即得.

【详解】依题意，，

所以.

故答案为：

4.若奇函数，则__________．

【答案】6

【解析】

【分析】根据函数为奇函数，求得a的值，再代入求值即得答案.

【详解】依题意为奇函数，

,即，

可得，即，故，

则，

故答案为：6

5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为_________．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】求出抛物线的焦点坐标及双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算即得.

【详解】抛物线，即的焦点为，双曲线的渐近线方程为，

所以点到直线的距离．

故答案为：

6.已知向量，若与垂直，则等于___________.

【答案】2

【解析】

【分析】由向量减法的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求得，再应用模长的坐标运算求.

【详解】由，又与垂直，

所以，可得，

所以.

故答案为：2

7.已知的展开式中所有项的系数和为1024，则含项的系数为______．（用数字作答）

【答案】300

【解析】

【分析】由赋值法求出，再根据通项公式计算即可．

【详解】在中，令，

得，解得，

所以含的项为，

故答案为：300．

8.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】事件“取出的两个球颜色不同”，包括一个黄球一个蓝球，

一个黄球一个绿球以及一个蓝球一个绿球，三种情况，

则,

事件“取出一个蓝球，一个绿球”，

则，

所以.

故答案为：

9.复数满足，则________.

【答案】

【解析】

【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解.

【详解】设复数，

由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，

由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，

联立，解得，所以，

经检验，满足，

则.

故答案为：.

10.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】首先确定，分别求出各自的概率，然后期望公式可求

【详解】记检测次数为，则

当时，检测的两件产品均为正品或为次品，则，

当时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，

都能确定所有次品，则，

所以，

故答案为：

11.已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______．

【答案】

【解析】

【分析】依题意可知四点共圆，可得，由余弦定理可得，且，再根据外接球直径利用勾股定理计算出外接球半径，可得球的表面积.

【详解】根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示：

易知，又，

在中，由余弦定理可得；

中，由余弦定理可得;

又易知，所以可得，

解得，又，所以，

可得，即，

设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得，

解得，

又平面，且，

设四棱锥的外接球半径为，

可得，即；

因此外接球的表面积为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用四点共圆性质得出对角线，再由正弦定理求出外接圆半径，再根据线面垂直关系可得外接球半径可得结果.

12.已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.

【详解】，

则，

其周期为，而，即最多3个不同取值，

集合有且仅有两个元素，设，

则在中，或，或，

又，即

一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，

于是有，即有，解得，

不相等的两项为，

故，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析