高等数学教学设计——导数.docx

?一、教学目标

1.知识与技能目标

-理解导数的概念，掌握导数的定义式及其几何意义。

-能够运用导数的定义求一些简单函数的导数。

-理解导数与函数单调性之间的关系，并能利用导数判断函数的单调性。

-掌握函数极值的概念，会求函数的极值。

-理解函数最值的概念，会求函数在闭区间上的最值。

2.过程与方法目标

-通过对导数概念的形成过程的学习，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力。

-在利用导数研究函数性质的过程中，体会数学中的数形结合思想和分类讨论思想。

-通过例题和练习，提高学生运用导数知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标

-通过导数的学习，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

-培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学好数学的信心。

二、教学重难点

1.教学重点

-导数的概念和几何意义。

-利用导数求函数的单调性、极值和最值。

2.教学难点

-导数概念的理解，尤其是极限思想的运用。

-利用导数解决含参数的函数单调性、极值和最值问题。

三、教学方法

1.讲授法：讲解导数的基本概念、定理和公式，使学生系统地掌握知识。

2.直观演示法：通过图形、动画等直观手段，帮助学生理解导数的几何意义和函数的单调性、极值等性质。

3.讨论法：组织学生讨论一些导数应用中的问题，培养学生的思维能力和合作交流能力。

4.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学过程

（一）导入新课

1.创设情境

-展示高台跳水运动员的运动轨迹，提问：如何描述运动员在某一时刻的速度变化情况？

-展示气球膨胀的过程，提问：如何求气球半径的变化率？

2.引出课题

通过以上实际问题，引出导数的概念，说明导数在研究函数变化率方面的重要作用。

（二）讲解新课

1.导数的概念

-平均变化率

设函数\(y=f(x)\)在点\(x=x_0\)及其附近有定义，当自变量\(x\)在\(x_0\)处有改变量\(\Deltax\)时，函数\(y\)相应地有改变量\(\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0)\)，则比值\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)叫做函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)到\(x_0+\Deltax\)之间的平均变化率。

-瞬时变化率

当\(\Deltax\)无限趋近于\(0\)时，平均变化率\(\frac{\Deltay}{\Deltax}\)无限趋近于一个常数，这个常数叫做函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的瞬时变化率。

-导数的定义

函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f^\prime(x_0)\)，就是函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的瞬时变化率，即\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)。

如果函数\(y=f(x)\)在开区间\((a,b)\)内每一点都可导，就说\(y=f(x)\)在开区间\((a,b)\)内可导，其导数也是\(x\)的函数，叫做\(y=f(x)\)的导函数，记作\(f^\prime(x)\)或\(y^\prime\)，即\(f^\prime(x)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}\)。

通过具体例子，如\(f(x)=x^2\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)处的导数，加深学生对导数定义的理解。

2.导数的几何意义

-曲线的切线

通过动画演示，让学生观察曲线在某点处的切线，引导学生理解切线的概念。

设曲线\(y=f(x)\)上一点\(P(x_0,y_0)\)，当点\(P