2024_2025新教材高中数学第五章导数及其应用2.3简单复合函数的导数学案苏教版选择性必修第一册.docVIP

PAGE

PAGE7

简洁复合函数的导数

新课程标准解读

核心素养

能求简洁的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数

数学运算

假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f(u)＝60u－u2，u＝g(x)＝60－3x.

那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60(60－3x)－(60－3x)2＝180x－9x2.

上式也可这样得到：f(g(x))＝60g(x)－[g(x)]2＝180x－9x2.

[问题](1)函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系？

(2)设y＝f(g(x))＝180x－9x2，求y′，并视察f′(u)和u′＝g′(x)的关系．

学问点复合函数

1．概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，假如通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

2．求导法则：一般地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a.

eq\a\vs4\al()

求复合函数的导数的留意点

(1)分解的函数通常为基本初等函数；

(2)求导时分清是对哪个变量求导；

(3)计算结果尽量简洁，最终要把中间变量换成自变量x的函数．

1．已知函数y＝2x＋5＋lnx，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．这三个函数都是复合函数吗？

提示：函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋lnx不是复合函数．

2．试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？

提示：设u＝2x＋5，则y＝lnu，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝lnu和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．

1．函数y＝cos2x的导数为()

A．y′＝sin2x B．y′＝－sin2x

C．y′＝－2sin2x D．y′＝2sin2x

解析：选Cy′＝(cos2x)′＝－2sin2x.

2．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．

解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，

∴f′(0)＝10.

答案：10

简洁复合函数求导

[例1](链接教科书第191页例4)求下列函数的导数：

(1)y＝ecosx＋1；(2)y＝log2(2x＋1)；

(3)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(4)y＝eq\f(1,\r(1－2x)).

[解](1)设y＝eu，u＝cosx＋1，

则y′x＝y′u·u′x＝eu·(－sinx)

＝－ecosx＋1sinx.

(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，

则y′x＝y′u·u′x＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,（2x＋1）ln2).

(3)设y＝2sinu，u＝3x－eq\f(π,6)，

则y′x＝y′u·u′x＝2cosu×3＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).

(4)设y＝ueq\s\up7(－eq\f(1,2))，u＝1－2x，

则y′x＝y′u·u′x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ueq\s\up7(－eq\f(1,2)))))′·(1－2x)′

＝－eq\f(1,2)ueq\s\up7(－eq\f(3,2))×(－2)＝(1－2x)eq\s\up7(－eq\f(3,2)).

eq\a\vs4\al()

复合函数求导数的步骤

[跟踪训练]

求下列函数的导数：

(1)y＝103x－2；

(2)y＝ln(ex＋x2)；

(3)y＝sin4x＋cos4x.

解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u，

所以y′x＝y′u·u′x＝10uln10·(3x－2)′

＝3×103x－2ln10.

(2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu，

所以y′x＝y′u·u′x＝eq\f(1,u)·(ex＋x2)′

＝eq\f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq\f(ex＋2x,ex＋x2).

(3)因为y＝sin4x＋cos4x

＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x

＝1－eq\