题型03 函数的基本性质解题技巧（解析版）.docx

题型03函数的基本性质解题技巧

技法01

技法01利用函数的奇偶性求参数值

技法02求“奇函数+常函数”的最大值+最小值

技法03求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值

技法04函数周期性的应用及解题技巧

技法05函数对称性的应用及解题技巧

技法06函数4大性质的综合应用及解题技巧

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技法01利用函数的奇偶性求参数值

纵观历年考题，函数的奇偶性一直是函数及其高考中的重要考点。掌握奇偶性的定义至关重要，若能熟练掌握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。

奇偶性的运算

与指数函数相关的奇函数和偶函数

，（，且）为偶函数，

，（，且）为奇函数

和，（，且）为其定义域上的奇函数

和，（，且）为其定义域上的奇函数

为偶函数

与对数函数相关的奇函数和偶函数

，（且）为奇函数，

，（且）为奇函数

（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（????）．

A． B．0 C． D．1

思路点拨：利用函数奇偶性的运算及结论求解即可

思路详解：

【法一】为奇函数，则为奇函数，则

【法二】寻找必要条件，特值，例，略

【法三】定义法，略

1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则.

思路详解：

【法一】为奇函数，则为偶函数，而为偶函数，则

【法二】寻找必要条件，特值，例，略

【法三】定义法，略

2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（????）

A． B．0 C．1 D．

思路详解：

【法一】为奇函数，则为奇函数，由结论可知，则

【法二】寻找必要条件，特值，例，略

【法三】定义法，略

1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为为偶函数，则，

又因为不恒为0，可得，即，

则，即，解得.

故选：D.

2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．

【答案】2

【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.

【详解】因为为偶函数，定义域为，

所以，即，

则，故，

此时，

所以，

又定义域为，故为偶函数，

所以.

故答案为：2.

3．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则.

【答案】

【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值.

【详解】因为为偶函数，所以，即，

即，即，所以，

故答案为：

技法02求“奇函数+常函数”的最大值+最小值

在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”类型的问题。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么求解最大值和最小值可秒解。

在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有

即倍常数

已知分别是函数++1的最大值、最小值，则

思路点拨：利用结论求解即可

思路详解：倍常数=2

【法二】

1．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（????）

A． B．

C． D．

思路详解：

所以

为奇函数，为奇函数

由结论可知

【法二】

2．已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（????）

A． B．6 C．2 D．

思路详解：，由结论可知最大值与最小值的和为6

【法二】最大值+最小值

1．若函数在区间上的最大值?最小值分别为?，则的值为（????）

A．2 B．0 C． D．3

【答案】C

【解析】化简函数，得到，构造新函数，得出函数为奇函数，求得最大值与最小值之和为0，进而根据和的值域相同，即可求解.

【详解】由函数，

可得，

令，则，

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，

设在上的最大值为，最小值为，则，

因为和的值域相同，

即的最大值与的最大值相同，最小值也相同，

所以，所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，函数的图象变换，以及函数的最值的求解，其中解答中合理构造新函数，利用函数的奇偶性求得最大值和最小值的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

2．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则．

【答案】6

【分析】把分离常数变形，再判断为奇函数，最后利用奇函数的对称性求出结果.

【详解】由题意可知，，

设，的定义域为，

所以，

所以为奇函数，所以，

所以

故答案为：

3．函数的最大值为，最小值为，若，则．

【答案】1

【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出．

【详解】，

设，则，

记，

因为，

所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，

所以，

又因为，

所以，

故答案为：1．

技法03求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值

在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇