管理运筹学第四版课后习题.docx

?第一章线性规划

习题1

1.题目：某工厂生产A、B两种产品，已知生产单位产品A需要消耗原材料2千克、劳动力3个；生产单位产品B需要消耗原材料3千克、劳动力2个。工厂现有原材料100千克、劳动力120个。又已知生产单位产品A可获利4元，生产单位产品B可获利5元。问应如何安排生产计划，使工厂获利最大？

2.解答：

-设生产产品A的数量为\(x_1\)，生产产品B的数量为\(x_2\)。

-目标函数：

-目标是使获利最大，获利函数为\(Z=4x_1+5x_2\)。

-约束条件：

-原材料约束：\(2x_1+3x_2\leq100\)。

-劳动力约束：\(3x_1+2x_2\leq120\)。

-非负约束：\(x_1\geq0\)，\(x_2\geq0\)。

-求解：

-通过单纯形法求解，首先将约束条件化为标准形式：

-引入松弛变量\(x_3\)，\(x_4\)，则约束条件变为：

-\(2x_1+3x_2+x_3=100\)。

-\(3x_1+2x_2+x_4=120\)。

-建立初始单纯形表：

|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项|

|---|---|---|---|---|---|

|\(x_3\)|2|3|1|0|100|

|\(x_4\)|3|2|0|1|120|

|\(Z\)|-4|-5|0|0|0|

-进行迭代，选择\(x_2\)进基（因为\(-5\)是目标函数中系数绝对值最大的负数），\(x_3\)出基（因为\(\frac{100}{3}\lt\frac{120}{2}\)）。

-进行一次迭代后得到新的单纯形表：

|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项|

|---|---|---|---|---|---|

|\(x_2\)|\(\frac{2}{3}\)|1|\(\frac{1}{3}\)|0|\(\frac{100}{3}\)|

|\(x_4\)|\(\frac{5}{3}\)|0|-\(\frac{2}{3}\)|1|\(\frac{260}{3}\)|

|\(Z\)|-\(\frac{2}{3}\)|0|\(\frac{5}{3}\)|0|\(\frac{500}{3}\)|

-再选择\(x_1\)进基，\(x_4\)出基。

-迭代后得到最优单纯形表：

|基变量|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(x_4\)|常数项|

|---|---|---|---|---|---|

|\(x_2\)|0|1|\(\frac{7}{15}\)|-\(\frac{2}{15}\)|24|

|\(x_1\)|1|0|-\(\frac{2}{5}\)|\(\frac{3}{5}\)|20|

|\(Z\)|0|0|\(\frac{29}{15}\)|\(\frac{2}{15}\)|140|

-所以最优解为\(x_1=20\)，\(x_2=24\)，最大获利\(Z=140\)元。

习题2

1.题目：某家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/张，椅子售价30元/把，生产桌子和椅子需要木工和漆工两种工种。生产一张桌子需要木工4小时，漆工2小时；生产一把椅子需要木工3小时，漆工1小时。该厂每月木工最多工作120小时，漆工最多工作50小时。问如何安排生产才能使该厂每月的销售收入最大？

2.解答：

-设生产桌子的数量为\(x_1\)，生产椅子的数量为\(x_2\)。

-目标函数：

-销售收入最大，目标函数为\(Z=50x_1+30x_2\)。

-约束条件：

-木工工时约束：\(4x_1+3x_2\leq120\)