广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学四校2023−2024学年高二下学期第一次联考 数学试卷（含解析）.docx

广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学四校2023?2024学年高二下学期第一次联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．如果物体的运动函数为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是（????）

A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒

2．已知等比数列，则（????）

A．2 B． C． D．

3．质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（????）

A． B． C． D．

4．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（????）

A．12 B．18 C．20 D．60．

5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（????）

A． B． C． D．

6．已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，圆O与y轴负半轴的交点为Q，若直线PQ与x轴的交点M平分线段，则双曲线C的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．已知正实数满足，，则（????）

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（????）

A．至多有1件不合格品的抽法种数为

B．都是合格品的抽法种数为

C．至少有1件不合格品的抽法种数为

D．至少有1件不合格品的抽法种数为

10．已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（????）

A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数

C．在时取极小值 D．在时取极小值

11．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（????）

A．2次传球后球在丙手上的概率是

B．3次传球后球在乙手上的概率是

C．3次传球后球在甲手上的概率是

D．n次传球后球在甲手上的概率是

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为.

13．若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为.

14．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．

四、解答题（本大题共5小题）

15．中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：

(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；

(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为，求的分布列和数学期望．

16．如图所示，等边所在平面与菱形所在平面相垂直，，，，

??

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值.

17．已知数列为递增的等差数列，，，，其中．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）设，求使不等式对一切均成立的最大实数．

18．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点相同，点的坐标分别为是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)求证：当点在抛物线上变动时（只要点存在，且点与点不重合），直线恒过定点，并求出定点坐标．

19．已知函数.

(1)求曲线与的公切线的条数；

(2)若，求的取值范围.

参考答案

1．【答案】A

【分析】求出函数的导数后可求物体在2秒末的瞬时速度.

【详解】，所以（米/秒），

故选A.

2．【答案】A

【分析】由等比数列的性质可知，，计算得到，注意舍去负值.

【详解】由等比数列的性质可知，，