河南省信阳市信阳高级中学（北湖校区）2024_2025学年高二下学期3月测试（一） 数学试题（含解析）.docx

河南省信阳市信阳高级中学（北湖校区）2024?2025学年高二下学期3月测试（一）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设a为实数，已知直线：，：，若，则（????）

A．6 B． C．6或 D．或3

2．已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（???）

A． B． C．2 D．1

3．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

4．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

5．如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（???）

A． B．

C．或 D．

6．已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（????）

A．是函数的最小值

B．是函数的极小值

C．在区间上单调递增

D．在处的切线的斜率大于0

7．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（????）

A．288种 B．296种 C．362种 D．384种

8．已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左?右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为（????）

A．2 B．3 C．6 D．7

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（???）

A．点到直线的距离是4

B．若的方程是，则的面积为3

C．若的中点到直线的距离为3，则

D．若点在直线上，则

10．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（????）

A．是等差数列

B．当或时，取得最大值

C．数列的前项和是

D．，，成等差数列，公差为

11．如图，在直三棱柱中，点，，分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，且则下列说法正确的是（）

A．

B．点到平面的距离为

C．五面体的体积为

D．三棱柱的外接球的表面积为

三、填空题（本大题共3小题）

12．在二项式的展开式中，第四项的系数是．

13．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为．

14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是．

四、解答题（本大题共5小题）

15．在数列中，

(1)证明：数列是等比数列．

(2)求数列的前n项和．

16．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，.

(1)证明：平面平面.

(2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

17．某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元．

(1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列；

(2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值．

18．已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．

19．已知四数．

(1)求在处的切线方程；

(2)证明：函数只有一个零点；

(3)当时，函数恒成立，求a的取值范围．

参考答案

1．【答案】A

【详解】因，则.

则或.当，：，：，满足；

当，：，：，两直线重合，不合题意.

则.

故选：A

2．【答案】C

【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心，

记的中点为，则，

故

，

故，因此，

故选：C

????

3．【答案】B

【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解.

【详解】由题得，

由题知在中，最大值只有，

即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知.

故选.

4．【答案】A

【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．

由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，

因此直线的倾斜角的取值范围是．

故选：A.

5．【答案】D

【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为，

由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，

设，

由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1，

又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即.

故选：D.

6．【答案】D

【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案.

【详解】C选项，由图象可看出当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误；

A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误；

B选项，是函数的极大值，B错误；

D选项，由于，故