导学案数学第十章1011014概率的基本性质.docx

10.1.4概率的基本性质

【学习目标】

【素养达成】

1.理解概率的基本性质.

数学抽象

2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题的方法.

数学运算

概率的基本性质

性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0.

性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(?)=0.

性质3如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).

推广如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1P(A),P(A)=1P(B).

性质5如果A?B,那么P(A)≤P(B).

性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B).

【教材深化】

利用互斥事件求概率的关注点

(1)将一个事件拆分为若干个互斥事件,分别求出各事件的概率,然后用加法公式计算结果.

(2)在运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件,做到不重不漏.

【教材挖掘】(P243思考)

问题:一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗?如果不相等,请你说明原因,并思考如何计算P(R1∪R2).

提示:P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).

因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)+P(R2)=612+612=1,P(R1∪R2)=1012,而P(R1∩R2

因此P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)P(R1∩R2).

【明辨是非】

(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).(×)

提示:不一定,只有A与B互斥时,P(A∪B)=

P(A)+P(B)才成立.

(2)对于互斥事件A与B,一定有P(A)+P(B)=1.(×)

提示:只有两事件A与B对立,才有P(A)+P(B)=1.

(3)若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件.(×)

提示:P(A)+P(B)=1,事件A和事件B可以对立也可以不对立.

类型一概率性质的直接应用(数学运算)

【典例1】(1)(2024·安庆高一检测)下列说法正确的是()

A.若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)

B.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1

C.若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1

D.若A?B,则P(A)P(B)

【解析】选C.对于A,当A,B为互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),所以A错误;

对于B,当事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,所以B错误;

对于C,当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,所以C正确;

对于D,由概率的性质可知,若A?B,则P(A)≤P(B),所以D错误.

(2)(2024·沈阳高一检测)抛掷一枚质地均匀的六面骰子,记事件A=“向上的点数为1或4”,事件B=“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是()

A.A与B互斥 B.A与B对立

C.P(A+B)=23 D.P(A+B)=

【解析】选C.当向上的点数为1时,A,B同时发生,则A与B不互斥,也不对立.

因为P(A)=26=13,P(B)=36=12,P(AB)=16,所以P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB

【备选例题】

(2024·阜阳高一检测)下列说法正确的是()

A.事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件

B.互斥事件一定是对立事件

C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1

D.若A∩B为不可能事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)

【解析】选D.对于A选项,例如在编号为1,2,3,4,5的小球中任取一球,

定义事件A:所取小球的编号不小于3,定义事件B:所取小球的编号不小于4,则B?A,且P(A)+P(B)=35+2

对于B选项,互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件,B错;

对于C选项,若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=P(A∪B∪C)≤1,C错;

对于D选项,若A∩B为不可能事件,则P