2024_2025学年新教材高中数学第1章预备知识44.3一元二次不等式的应用学案北师大版必修第一册.docVIP

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一元二次不等式的应用

学习目标

核心素养

1．经验从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义．(重点)

2．能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．(重点、难点)

1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，培育数学抽象素养．

2．通过构建一元二次函数模型，培育数学建模和数学运算素养.

利用不等式解决实际问题的一般步骤是什么？

1．分式不等式的解法

类型

同解不等式

eq\f(ax＋b,cx＋d)0(其中a，b，c，d为常数)

法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b0,cx＋d0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b0,cx＋d0))；

法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cx＋d))0.

eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(其中a，b，c，d为常数)

法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0,cx＋d0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0,cx＋d0))；

法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cx＋d))≥0,cx＋d≠0)).

eq\f(ax＋b,cx＋d)k(其中a，b，c，d，k为常数)

先移项转化为eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－ck))x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－kd)),cx＋d)0，再求解

对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解．

已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs0\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋a,x＋b)))0))，则集合?RA与eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋a,x＋b)))≤0))相等吗？

[提示]不相等，?RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋a,x＋b)))≤0或x＋b≠0)).

2．建立一元二次不等式模型的步骤

(1)阅读理解，仔细审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．

(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．

(3)解不等式(或求函数的最值)．

(4)回扣实际问题.

类型1分式不等式的解法

【例1】解不等式eq\f(x＋1,x)≤3.

[解]原不等式可化为eq\f(x＋1,x)－3≤0，即eq\f(1－2x,x)≤0，

∴eq\f(2x－1,x)≥0，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x?2x－1?≥0，,x≠0，))解得x≥eq\f(1,2)或x0.

故原不等式的解集为{x|x≥eq\f(1,2)或x0}．

分式不等式一般解题步骤

(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”；

(2)转化为同解的整式不等式；

(3)解整式不等式．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

1．不等式eq\f(x－2,x－1)≥0的解集是()

A．[2，＋∞) B．(－∞，1]∪(2，＋∞)

C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)

D[原不等式可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－2??x－1?≥0,x－1≠0))

解得x≥2或x＜1，

故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞)．]

类型2不等式恒成立问题

【例2】若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋1))x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))0对随意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

[解]由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，原不等式可化为2x－60，

解得x3，不符合题意，应舍去．

当m＋1≠0时，

若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋1))x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－1))0对任何实数x恒