2025年中考数学总复习《二次函数中菱形的存在性问题》专项检测卷附答案.docxVIP

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2025年中考数学总复习《二次函数中菱形的存在性问题》专项检测卷附答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段的长．

②连接、，求的面积最大时点P的坐标；

(3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线交直线于坐标轴上两点，交轴于另一点，连接．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)点为线段上一点，过点作直线，交轴于点．连接，求面积的最大值；

(3)若在直线上存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，求点的坐标．

3．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，二次函数的图象经过，两点，并与轴交于点点是线段上一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点和点，连接．

(1)求这个二次函数的解析式．

(2)①求、的值（用含的代数式表示）．

②当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值．

(3)点是平面内一点，是否存在以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．

??

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

5．如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点C到的距离米，，点D，E在抛物线一部分上，以所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．

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(1)求此抛物线对应的函数表达式．

(2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为m米，试求内接矩形的面积S．（用含m的式子表示）；

(3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米2，广告牌其余部分的价格为160元/米2，试求完成菱形广告牌所需的最低费用．

6．如图，直线．与抛物线交于，两点．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标；

(3)若点在抛物线上，交直线于点，点在坐标平面内，当以为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．

7．如图，经过，两点的抛物线与y轴交于点C．

??

(1)求抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；

(2)若线段上有一动点M（不与B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N．

①当线段的长度最大时，求此时点M的坐标；

②是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8．已知如图：抛物线交轴于点、点，交轴于点，点、点关于轴对称．

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(1)求抛物线解析式．

(2)点是抛物线上对称轴右侧一点，连接，面积最大时，求出最大面积和此时点的坐标．

(3)点在对称轴上，点是第一象限内一点，以点、、、为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．

9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

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(1)求抛物线的解析式；

(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．

10．如图，抛物线过点．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；

(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，直线的解析式为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知k为正数，当时，y的最大值和最小值分别为m，n，