2024_2025年新教材高中数学第六章幂函数指数函数和对数函数3第二课时对数函数图象及性质的应用习题课学案苏教版必修第一册.docVIP

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其次课时对数函数图象及性质的应用(习题课)

对数型函数的单调性

角度一比较对数值的大小

[例1](链接教科书第145页例2)比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln0.3，ln2；

(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；

(3)log30.2，log40.2；

(4)log3π，logπ3.

[解](1)因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.

(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；

当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，

又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.

综上所述，当a＞1时，loga3.1＜loga5.2；

当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2.

(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以eq\f(1,log0.23)＜eq\f(1,log0.24)，

即log30.2＜log40.2.

(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，

所以log3π＞log33＝1.

同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.

比较对数值大小时常用的4种方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性干脆进行比较；

(2)若底数为同一字母，则依据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类探讨；

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；

(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．

角度二求解对数不等式

[例2]解不等式：

(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；

(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1)．

[解](1)原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3＞0，,5x－6＞0，,2x＋3≥5x－6，))

解得eq\f(6,5)＜x≤3.

所以不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))＜x≤3)).

(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)．

当a＞1时，

不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4＞0，,2x－1＞0，,x－4＞2x－1，))无解．

当0＜a＜1时，不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4＞0，,2x－1＞0，,x－4＜2x－1，))解得x＞4.

综上可知，当a＞1时，解集为?；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．

常见对数不等式的2种解法

(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，假如a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种状况探讨；

(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．

角度三求对数型函数的单调区间

[例3]求函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调区间．

[解]设t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝logt在定义域内单调递减，因而函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)．

1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行探讨；二是运用复合函数的单调性法则来推断其单调性；三是要留意其定义域．

2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)型．

[跟踪训练]

1．已知a＝2，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,3)，则()

A．a＞b＞c B．a＞c＞b

C．c＞b＞a D．c＞a＞b

解析：选D∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,3)＞logeq\f(1,2)＝1，∴c＞a＞b.故选D.

2．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集为__________．

解析：因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋x＞0，,1－x＞0，