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八年级暑假复习专题四：

平行四边形

四边形在中考中非常重要，各种四边形的性质及判定也是考查的重点，且经常与其他重要知识点进行综合考查．既注重对知识的考查，又突出对同学们动手操作能力和创新意识的考查，注重考查同学们的数学活动（操作、探索等）经验和数学思想及数学应用意识，是中考的热点之一.

一：四边形的性质与判定的简单证明

例1．如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）

A．OE=OFB．DE=BF

C．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF

分析虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个

角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．

练习10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，

垂足为F，求证：EF＝AP

二、四边形的有关计算

例2（方程思想）如图2，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4cm，AF＝5cm，四边形ABCD的周长为36cm．求AB、BC的长．

析解：因为平行四边形的周长已知，所以可得关于平行四边形两邻边的一个方程；又因为两邻边上的高已知，由平行四边形的面积公式，又可得另一个方

程，从而组成方程组，使问题得解．

例3（分类讨论）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD∶BC＝5∶6，∠A、∠D的平分线都与BC相交，且两交点把BC三等分，若梯形周长为57cm，求上、下底的长．

析解：由于∠A、∠D的平分线AE、DF的位置关系有两种情况，故需要分类讨论．

练习（面积计算）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

三、开放性的题型

例4在学习梯形时，王老师向全班同学提出了如下问题：如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，现要求添加一个条件，使梯形ABCD是等腰梯形（AD＝BC除外）．

以下是四名同学添加的条件：

甲生：∠A＝∠B，

乙生：∠B＋∠D＝180°，

丙生：∠A＝∠D，

丁生：梯形ABCD是轴对称图形．

你认为哪些同学添加的条件符合要求？答：

__________，理由是__________，你能添加其他的一个条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？

分析：本题的实质是考查等腰梯形的识别，解决问题的关键是熟练掌握等腰梯形的识别方法，从角、对角线、对称性三个角度添加直接条件或间接条件．

练习已知：AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加_____________________________条件若四边形ABCD为平行四边形，

请补充条件_______________________使得四边形ABCD为菱形。

四、探究题

例5（条件探究）如图所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

（3）在（2）△ABC满足什么条件，四边形AECF是正方形？并证明你的结论．

例6（结论探究）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，

求证：AM＝MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE＝MC，连ME．正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，

AB＝BC．∴∠NMC＝180°—∠AMN—∠AMB＝180°—∠B—∠AMB＝∠MAB＝∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN＝ °时，结论AM＝MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

根据题目中的证题思路，构造全等三角形证明线段相等，在正方形的图形中如此，要正三角形中也可模仿，即在边AB上截取AE＝MC，连接ME，证△AEM≌△MCN，从而AM＝MN．

练习1已知：以三角形ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ΔABD、ΔBCE、ΔACF（1）四边形ADEF是什么四边形？说明理由。

（2）请猜测