2024_2025学年高中数学第五章数列5.4数列的应用课后习题含解析新人教B版选择性必修第三册.docx

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第五章数列

5.4数列的应用

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(2020郑州高三二模)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()注:12+22+32+…+n2=n(n

A.1624 B.1024

C.1198 D.1560

解析依题意,{an}:1,4,8,14,23,36,54,…

两两作差,得{bn}:3,4,6,9,13,18,…

两两作差,得{cn}:1,2,3,4,5,…

设该数列为{an},令bn=an+1-an,设{bn}的前n项和为Bn,

又令cn=bn+1-bn,设{cn}的前n项和为Cn.

易知cn=n,Cn=n2

进而得bn+1=3+Cn=3+n2

所以bn=3+n(n

则Bn=n(n+1)(

所以an+1=1+Bn,所以a19=1024.

答案B

2.(2019山东高三期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2019这2019个数中,能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列所有项中,中间项的值为()

A.992 B.1022 C.1007 D.1037

解析将题目转化为an-2既是3的倍数,也是5的倍数,也就是15的倍数.

即an-2=15(n-1),an=15n-13.

当n=135,a135=15×135-13

当n=136,a136=15×136-13

故n=1,2,…,135,数列共有135项.

因此数列中间项为第68项,a68=15×68-13=1007.

故答案为C.

答案C

3.(2020江西安福中学高一月考)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是()

A.am B.

C.ap(1+p

解析设每年偿还的金额为x,

则a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,

所以a(1+p)m=x1-(1+p

解得x=ap(

故选D.

答案D

4.(2019兰州第二中学高二期中)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何.”翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为1200尺,则需要多少天时间才能打穿(结果取整数)()

A.12 B.11 C.10 D.9

解析大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{an},{bn},它们都是等比数列,a1=b1=1,数列{an}的公比为q1=2,数列{bn}的公比为q2=12,设需要n天能打穿墙

则(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=1-2n1-2+1

当n=10时,2n+1-12n-1=1025-1

当n=11时,2n+1-12n-1=2049-1

因此需要11天才能打穿.

故选B.

答案B

5.假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服,且每次能洗去污垢的34,那么至少要清洗次才能使存留的污垢在1%以下.

解析设每次用a升清水漂洗一件衣服,洗涤次数为n,通过题意可知,存留的污垢y是以14a为首项,14

所以有y=14n·a,

由题意,可知14n·a≤1%·a,得n≥log4100=log210,得n≥4,

所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在1%以下.

答案4

6.

(2020上海华师大二附中高三月考)如图,一个粒子从原点出发,在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点(0,1),接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回运动,且每秒移动一个单位长度,那么,在2018秒时,这个粒子所处的位置在点.?

解析