题型09 6类圆锥曲线离心率解题技巧-高考数学答题技巧与模板构建（解析版）.docx

题型096类圆锥曲线离心率解题技巧

（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）

技法01

技法01椭圆、双曲线中的定义法求离心率的解题技巧

技法02焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率的解题技巧

技法03斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧

技法04定比分点求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧

技法05余弦定理求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧

技法06构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率的解题技巧

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技法01椭圆、双曲线中的定义法求离心率的解题技巧

通过定义法计算离心率是掌握其本质的关键途径，也是新高考常考考点。通常，这一方法会在选填题中以椭圆或双曲线为背景进行考查，偶尔也会出现在解答题中，需要特别加强练习。

椭圆公式1:，公式2:变形，双曲线公式1:，公式

（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（????）

A．4 B．3 C．2 D．

思路详解：由题意，设、、，

则，，，

则，则.故选：C.

1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．

思路详解：由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入

得，即，故，，

又，得，解得，代入得，

故，即，所以.

故答案为：

2．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

思路详解：设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（），

连接，则，，

所以离心率．故选：C

3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率是（????）

A． B． C． D．

思路详解：因为是椭圆上的一点，且，即，所以，

则，即椭圆，则，所以离心率.故选：C

1．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【详解】双曲线的渐近线方程为，由点在双曲线的一条渐近线上，得，解得，所以的离心率.故选：C

2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，为原点，若，且，则椭圆的离心率为（?????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由数量积运算得，从而是直角三角形，然后由已知及勾股定理、椭圆的定义可求得离心率．

【详解】由题意，∴，

又是中点，所以是直角三角形，，又

，所以，，

所以，所以，

故选：C．

3．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（???）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，过点作于，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率.

【详解】令双曲线的半焦距为，则，

令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为，

于是，，

过点作于,则，而为线段的中点,

所以

因为，所以，

由双曲线定义得，即，解得.

所以该双曲线的离心率为.

故选：B.

技法02焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率的解题技巧

在研究焦点三角形时，我们发现求解离心率的方法众多。这些方法经常以椭圆或双曲线作为问题的依托，在小题中进行考查，难度相对较低，需要加强练习。

已知棚圆方程为,两焦点分别为,

设焦点三角形,,则椭圆的离心率

公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则

（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为

A． B． C． D．

思路详解：【法一】?离心率e＝

【法二】计算即可

1．已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为（）

A.B.C.D.

思路详解：

2．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

思路详解：【法一】?双曲线的焦点为，，则，

是等腰三角形，，

，，

由正弦定理即，解得，

双曲线过点，由双曲线的定义可得，

解得离心率，

【法二】计算即可

1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率.

【详解】

由题意，，

，

，

由正弦定理得，又，

所以，，又