北京市中关村中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试卷（含解析）.docx

2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线过点A(1,0)，

A.π6 B.π3 C.π4

2.圆心为(?1,2

A.(x+1)2+(y?

3.焦点为(0,2)

A.x2=8y B.x2=

4.长方体ABCD?A1B1C1D1

A.30° B.45° C.60°

5.已知α，β是两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知椭圆x22+y2=1上一点A和焦点F，AF⊥x

A.23 B.12 C.

7.已知圆(x?2)2+(y+1)2

A.3 B.?3 C.2 D.

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2

A.B.C.9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4

A.13 B.45 C.65 D.130

10.已知数列{an}的通项公式an=n2?2an，则根据下列说法选出正确答案是(????)

①若a=?12，则数列{1an}的前n项和Sn

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.双曲线C：x24?y2

12.经过点P(1,0)，且与直线l：y

13.抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点

14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=?3，a3+

15.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美.曲线C：4?|x|=4?y2，下面是关于曲线C的四个结论：

①曲线C关于原点中心对称；

②曲线C上点的横坐标取值范围是[?4,4]；

③曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2；

三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题8分)

如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1

17.(本小题12分)

已知在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，E、F分别为PC、PD的中点，过EF的平面EFG交BC于点G，平面EFG//平面PAB.

(Ⅰ)证明：G为BC的中点；

(Ⅱ)取AD的中点O，连接OC，OE，OG，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(i)A到平面EFG的距离；

(

18.(本小题8分)

已知直线l过点P(3,0)，且与椭圆x24+y2=1相交于不同的两点M，N.

(Ⅰ)若M，N中点的纵坐标为22

19.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴的两个端点分别为A(0,2)，B(0,?2)，离心率为22

答案和解析

1.【答案】B?

【解析】解：直线过点A(1,0)，B(0,?3)，则可得直线AB的斜率k=?3

2.【答案】A?

【解析】解：由题意可知，该圆的圆心为(?1?0)2+(2?0)

3.【答案】A?

【解析】解：焦点为(0,2)的抛物线标准方程是：x2=8

4.【答案】C?

【解析】解：根据题意，DA、DC、DD1两两互相垂直，可得DA?DC=DA?DD1=DC?DD1=0，

因为DB1=DA+AB+BB1=DA+DC+

5.【答案】A?

【解析】解：①因为直线l?α，且l⊥β，

根据面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

所以由判断定理得α⊥β.∴充分性成立，

②若α⊥β，直线l?α，则直线l⊥β，或直线l//β，或直线l与平面

6.【答案】C?

【解析】解：因为椭圆的方程为x22+y2=1，

所以a=2，b=c=1，

设椭圆的焦点F(1,0)，

因为AF⊥x轴，

所以12+y2=1，

解得y=±22，

令A(1

7.【答案】D?

【解析】解：圆(x?2)2+(y+1)2=9，

则圆心为(2,?1)，半径为3，

圆上至少有3个点到直线的距离为2，

则圆心到直线的距离小于等于

8.【答案】C?

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，

当n=1时，a1=S1=1，

∴n?2时,an=Sn?Sn?1

9.【答案】C?

【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a7=13，

10.【答案】A?

【解析】解：数列{an}的通项公式an=n2?2an，

对于①：当a=?12时an=n2+n，则1an=1n(n+1)=1n?1n+1，

数列{1an}的前n项和Sn=11?12+12?13+?+1n?1n

11.【答案】1?

【解析】解：已知双曲线C：x24