河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三下学期03月测试（一）数学试题.docx

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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）

2024-2025学年高三上期03月测试（一）

数学试题

命题人：审题人：

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合交集的知识求解即可.

【详解】则

故选：C.

2.若复数满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的运算化简即可；

【详解】由，则，即.

故选：A.

3.已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由题设有设，，，如下图，为边长为1的菱形，数形结合及向量加减、数乘的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案.

【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量，

设，，，如下图，为边长为1的菱形，

若，即与垂直，，

即，而，且，

所以共线，即与共线；

若与共线，即且，而，即，

所以与垂直，故.

所以“”是“与共线”的充要条件.

故选：C

4.已知，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.

【详解】因为，

所以，

故选：C

5.将函数的图像向左平移2个单位长度，所得函数在单调递增，则a的最大值为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】函数的图像可由对勾函数图像平移得到,由对号函数的单调区间，得到的单调区间，可解出a的最大值.

【详解】，显然的图像是函数的图像向右移动了个单位，

是对勾函数，任取，

，，，

当时，，，，

当时，，，，

得在上单调递减，在上单调递增，

∴在上单调递减，在上单调递增，

由函数的图像向左平移2个单位长度，所得函数在单调递增，得在单调递增，∴，，

则a的最大值为3,

故选：C

6.已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球表面积.

【详解】

过点作于点，连接，

因为三棱柱为直三棱柱，

平面，

又平面，

，

，，平面，且，

平面，

平面，

，

易知，，

，，

，

则，

设外接圆圆心为，外接圆圆心为，

则，即，

且三棱柱外接球球心为中点，

则外接球半径，

表面积为，

故选：.

7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围.

【详解】椭圆的焦点在轴上，，

直线，与椭圆都相切，

，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，

为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，

点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：，

又，；

椭圆离心率，，.

故选：B.

8.已知的三条边上的高分别为，若，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设的面积为，由题意可得，利用三角形三边关系可求解.

【详解】设的面积为，由题意可得，又因为，

所以，由三边关系定理可得，

所以，所以，所以，

所以，所以的取值范围为.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8

B.对于随机事件与，若，，则事件与独立

C.若随机变量，，若最大，则

D.设随机变量服从正态分布，若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，利用百分位数的定义判断即可；对于B，利用对立事件和条件概率的公式，结合独立事件的定义判断即可；对于C，根据随机变量的均值与方差公式，结合二项分布的概率公式求解即可；对于D，利用正态曲线的特点判断即可.