吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题.docx

高二数学开学考

一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（）

2.已知直线,直线.若,则（）

A.4 B.-2 C.4或-2 D.3

3.已知等比数列的前项和为，若，则（）

A. B. C. D.

4.已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（）

A. B.

C. D.

5.已知，均为等差数列，且，，，则（）

A.2026 B.2025 C.2024 D.2023

6.线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（）

A.2 B.4 C. D.

7.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）

A. B. C. D.

8.已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.

9.已知直线与，则（）

A.若，则两直线垂直 B.若两直线平行，则

C.直线恒过定点 D.直线在两坐标轴上的截距相等

10.已知圆与直线，下列选项正确的是（）

A.直线与圆必相交

B.直线与圆不一定相交

C.直线与圆相交且所截最短弦长为

D.直线与圆可以相切

11.已知点，，直线：，则下列结论正确的是（）

A.当时，点，到直线距离相等

B.当时，直线的斜率不存在

C.当时，直线在轴上的截距为

D.当时，直线与直线平行

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______.

13.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.

14.已知等差数列的前项和为，若，则__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.已知等比数列的前项和为，公比.

（1）求；

（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.

16.已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，．

（1）证明：数列和均为等比数列．

（2）设数列的前项和为，求．

17.如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点．

（1）判断是否为棱的中点，并说明理由；

（2）求平面与底面所成角的余弦值．

18.一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程；

（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．

所以直线l的方程为，即．

19.已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点.

（1）求的方程；

（2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆.

DADCBDBB9AC10AC11CD12

13

【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）

14【答案】46

15

解：（1）由，得，所以.

（2）设这5个数组成的等差数列为，

则，，

得该数列的公差，

所以，，.

因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36.

16解：（1）因为复数是虚数单位，，且，，

所以，

所以，

所以，

又可得,

所以，

所以：数列和均是等比数列.

（2）因为，

所以，

所以，

.

17解：（1）取的中点，连接，

因为，，所以，，.

又因为是菱形，，所以，，

因为，所以，平面，

所以平面，

因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，

所以.

因为，

所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，

所以，所以为棱的中点.

（2）因为平面，平面ABCD，

所以，，又，

如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，P0,0,1，

所以，，，，

底面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，即，

取，，得.

设平面与底面所成角为，

所以，

平面与底面所成角的余弦值为.

18解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等．

又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，

该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为