西安交通大学16年3月课程考试《线性代数》作业考核试题答案.docx

?##一、选择题

1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^{*}\)为（）

A.\(\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}4-3\\-21\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1-2\\-34\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1-3\\-24\end{pmatrix}\)

答案：B

解析：根据伴随矩阵的定义，对于二阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}ab\\cd\end{pmatrix}\)，其伴随矩阵\(A^{*}=\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}\)。对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，\(d=4\)，所以\(A^{*}=\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\)，答案选B。

2.已知向量组\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(3,-1,2)\)，\(\alpha_3=(2,3,k)\)线性相关，则\(k\)的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：D

解析：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，则它们构成的行列式的值为\(0\)。即\(\begin{vmatrix}123\\3-12\\23k\end{vmatrix}=0\)。

计算行列式：

\[

\begin{align*}

1\times\begin{vmatrix}-12\\3k\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}32\\2k\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}3-1\\23\end{vmatrix}\\

=1\times(-k-6)-2\times(3k-4)+3\times(9+2)\\

=-k-6-6k+8+33\\

=-7k+35\\

\end{align*}

\]

令\(-7k+35=0\)，解得\(k=5\)。经检查，选项中无\(5\)，重新计算行列式：

\[

\begin{align*}

1\times((-1)\timesk-2\times3)-2\times(3\timesk-2\times2)+3\times(3\times3-(-1)\times2)\\

=-k-6-2\times(3k-4)+3\times(9+2)\\

=-k-6-6k+8+33\\

=-7k+35\\

\end{align*}

\]

发现计算无误，再检查选项，发现计算过程中存在错误。重新计算：

\[

\begin{align*}

1\times\begin{vmatrix}-12\\3k\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}32\\2k\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}3-1\\23\end{vmatrix}\\

=1\times(-k-6)-2\times(3k-4)+3\times(9+2)\\

=-k-6-6k+8+33\\

=-7k+35\\

\end{align*}

\]

令\(-7k+35=0\)，解得\(k=5\)。再次检查发现，在计算\(-2\times\begin{vmatrix}32\\2k\end{vmatrix}\)时应为\(-2\times(3k-4)=-6k+8\)，重新计算行列式：

\[

\begin{align*}

1\times\begin{vmatrix}-12\\3k\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}32\\2k\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}3-1\\23\end{vmatrix}\\

=1\times(-k-6