数学一模考试班（15日）讲义（教师版）.pdfVIP

初三数学

一模考试班--中考27题

初三数学

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已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD

的延长线于点E，连接CE．若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD

上，连接CE．

①依题意补全图2；

②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝45°，

∵∠BAD＝α，

∴∠CAD＝45°﹣α．

∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，

∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α；

（2）①补全图形，如图2所示：

②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EA＝EC；理

由如下：

过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F，

如图3所示：则∠ECF＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝90°，

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∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，

即∠ACF＝∠BCE，

∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，

∴∠CAF＝∠CBE，

在△ACF和△BCE中，，

∴△ACF≌△BCE（ASA），

∴AF＝BE，CF＝CE．

∵∠ECF＝90°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF＝EC，

即AF﹣EA＝EC．

∴EB﹣EA＝EC．

在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，

将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．

（1）依题意补全图1；

（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP+DQ＝2AB；222

②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．

【解答】（1）解：补全图形如图1：

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（2）①证明：连接BD，如图2，

∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，

∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝90°，

∴∠1＝∠2．

∴△ADQ≌△ABP，

∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，

∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，

∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，

∵在Rt△BPD中，DP+BP＝BD，222

又∵DQ＝BP，BD＝2AB，22

222

∴DP+DQ＝2AB．

②解：结论：BP＝AB．

理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN＝CD，连接AN，QN．

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∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，

∴DQ＝PB，∠AQN＝∠APC＝45°，

∵∠AQP＝45°，

∴∠NQC＝90°，

∵CD＝DN，

∴DQ＝CD＝DN＝AB，

∴PB＝AB．

已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再

将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．

（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；

（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．

【解答】解：（1）有题意可得，∠CAP＝60°，