2024_2025学年新教材高中数学第四章概率与统计2.4第1课时离散型随机变量的均值学案新人教B版选择性必修第二册.docVIP

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第1课时离散型随机变量的均值

必备学问·自主学习

导思

1.什么是离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)？求离散型随机变量X的均值都有哪些步骤？均值有什么作用？

2．两点分布、二项分布以及超几何分布的均值计算公式分别怎么表示？

3．若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠0))，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y))与Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))之间具有怎样的关系？

1．离散型随机变量的均值

(1)定义：一般地，假如离散型随机变量X的分布列如表所示：

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).

(2)意义：它刻画了离散型随机变量X的平均取值．

(3)性质：假如X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．

离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗？

提示：不相同．离散型随机变量的均值是一个常数，它不依靠于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而改变．

2．常见的几种分布的数学期望

名称

两点分布

二项分布

超几何分布

公式

E(X)＝p

E(X)＝np

E(X)＝eq\f(nM,N)

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值．()

(2)随机变量的均值相同，则两个分布也肯定相同．()

(3)若X听从两点分布，则E(X)＝np.()

提示：(1)×.离散型随机变量的均值是一个常数，它不具有随机性．

(2)×.两个随机变量的分布相同，则它们的均值肯定相同；反之不肯定成立．

(3)×.若X听从两点分布，则E(X)＝p.

2．若随机变量X的分布列为

X

－1

0

1

P

eq\f(1,2)

eq\f(1,6)

eq\f(1,3)

则E(X)＝()

A．0 B．－1 C．－eq\f(1,6) D．－eq\f(1,2)

【解析】选C.E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6).

3．(教材二次开发：例题改编)设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________．

【解析】E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.

答案：35

关键实力·合作学习

类型一离散型随机变量均值公式及性质(数据分析、数学运算)

1．已知随机变量X的分布列如表：

X

－1

0

1

P

eq\f(1,3)

eq\f(1,5)

m

若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝5，则a的值为________．

【解析】由随机变量分布列的性质，得eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＝1，解得m＝eq\f(7,15).E(X)＝(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(7,15)＝eq\f(2,15).

因为E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝eq\f(2,15)a＋3＝5，所以a＝15.

答案：15

2．已知随机变量X的分布列如表：

X

－2

－1

0

1

2

P

eq\f(1,4)

eq\f(1,3)

eq\f(1,5)

m

eq\f(1,20)

(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y).

分析：先由分布列的性质求得m，再利用均值公式求E(X)，然后利用均值的性质求解E(Y).

【解析】(1)由随机变量分布列的性质，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1，解得m＝eq\f(1,6).

(2)E(X)＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30).

(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq\f(62,15).

方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如表：

Y

－7

－5

－3

－1

1

P

eq\f(1,4)