高考总复习课程--高考数学尖子生拔高课程（理）课后练习第8讲适当放缩在数列中的应用（下）.doc

第8讲适当放缩在数列中的应用（下）

题一：已知数列是公差不为0的等差数列，的等比中项.（1）求数列的通项公式；

（2）设

题二：已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当n≥2时，an总是3Sn－4与2－EQ\f(5,2)Sn的等差中项（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求；（Ⅲ）设，是数列的前项和，，，试证明：．

题三：设无穷数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当EMBEDEquation.3（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式EMBEDEquation.3对于任意的EMBEDEquation.3都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；（Ⅱ）若EMBEDEquation.3，其中EMBEDEquation.3，且记数列{bn}的前n项和Bn，证明：EMBEDEquation.3

题四：已知数列EMBEDEquation.DSMT4满足EMBEDEquation.DSMT4（Ⅰ）求数列EMBEDEquation.DSMT4的通项公式；（Ⅱ）若数列EMBEDEquation.DSMT4满足EMBEDEquation.DSMT4，证明：EMBEDEquation.DSMT4是等差数列；（Ⅲ）证明：EMBEDEquation.DSMT4

题五：已知数列EMBEDEquation.DSMT4的首项EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4．（Ⅰ）求EMBEDEquation.DSMT4的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4；

（Ⅲ）证明：EMBEDEquation.DSMT4．

题六：已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若数列是等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：当k为奇数时，；（Ⅲ）求证：

第8讲适当放缩在数列中的应用（下）

题一：EMBEDEquation.DSMT4

详解：设EMBEDEquation.DSMT4

解得EMBEDEquation.DSMT4

（2）证明：

EMBEDEquation.DSMT4

EMBEDEquation.DSMT4

题二：an＝2EMBEDEquation.DSMT4

详解：（Ⅰ）当n≥2时，2an＝3Sn－4＋2－EQ\f(5,2)Sn，即2(Sn－Sn－1)＝3Sn－4＋2－EQ\f(5,2)Sn，

所以Sn＝EQ\f(1,2)Sn－1＋2∴EQ\f(an＋1,an)＝\f(Sn＋1－Sn,Sn－Sn－1)＝\f((\f(1,2)Sn＋2)－(\f(1,2)Sn－1＋2),Sn－Sn－1)＝\f(1,2)(n≥2)

又2＋a2＝EQ\f(1,2)×2＋2＝3?a2＝1?EQ\f(a2,a1)＝\f(1,2)∴数列{an}是首项为2，公比为EQ\f(1,2)的等比数列∴an＝2EMBEDEquation.DSMT4(n∈N*)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝22－n(n∈N*)则

Tn＝b1＋b2＋……＋bn＝2×2＋3×1＋4×EQ\f(1,2)＋……＋(n＋1)×2EMBEDEquation.DSMT4

∴EQ\f(1,2)Tn＝2×1＋3×EQ\f(1,2)＋……＋n×23－n＋(n＋1)×2EMBEDEquation.DSMT4,

作差得：EQ\f(1,2)Tn＝2×2＋1＋EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,4)＋……＋23－n－(n＋1)2EMBEDEquation.DSMT4＝6－EQ\f(n＋3,2n－1)

∴Tn＝12－EQ\f(n＋3,2n－2)(n∈N*)

（Ⅲ）证明：

题三：证明：（Ⅰ）令EMBEDEquation.3，则无穷数列{an}可由a1=1，EMBEDEquation.3给出.显然，该数列满足EMBEDEquation.3，且EMBEDEquation.3

（Ⅱ）EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3

又EMBEDEquation.3

EMBEDEquation.3

EMBEDEquation.3