2024_2025年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数5.3函数模型的应用学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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函数模型的应用

[课程目标]1.能利用已知函数模型求解实际问题；2.能建立函数模型求解实际问题．

学问点一常见的函数模型

常

用

函

数

模

型

一次函数模型

y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

二次函数模型

y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型

y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

对数函数模型

y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a0且a≠1)

幂函数模型

y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

分段函数模型

y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）（xm），

g（x）（x≥m）))

学问点二应用函数模型解决问题的基本过程

用函数模型解应用题的四个步骤．

(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型．

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．

(4)还原——将数学结论还原为实际问题．

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)在选择实际问题的函数模型时，必需使全部数据完全符合该函数模型．(×)

(2)利用函数模型求实际问题的最值时要留意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．(√)

(3)用函数模型预料的结果必需和实际结果相符合.(√)

(4)数据拟合时，得到的函数必须要进行检验．(√)

【解析】(1)在选择实际问题的函数模型时，允许少量数据不符合该函数模型．

eq\o(\s\up7(),\s\do5(（见学生用书P69）))

eq\o(\s\up7(),\s\do5(指数函数模型))

eq\a\vs4\al(例1)某城市2024年底人口总数为100万人，假如年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：

(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；

(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算经过多少年以后，该城市人口总数将达到120万人(精确到1年).

(参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.301，lg1.012≈0.005)

解：(1)2024年底人口总数为100万人，

经过1年，2024年底人口总数为

100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，

经过2年，2024年底人口总数为

100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝

100×(1＋1.2%)2(万人)，

经过3年，2024年底人口总数为

100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝

100×(1＋1.2%)3(万人)，

……

所以经过x年后，该城市人口总数为

100×(1＋1.2%)x(万人)，

所以y＝100×(1＋1.2%)x.

(2)10年后该城市人口总数为

100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人).

(3)由题意得100×(1＋1.2%)x＝120，

即lg[100×(1＋1.2%)x]＝lg120，

整理得，2＋xlg1.012＝2＋lg1.2，

解得x≈16.

所以经过16年以后，该城市人口总数将达到120万人．

[规律方法]

有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：假如原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可用公式y＝N(1＋p)x来表示．解决平均增长率的问题，常用到这个函数模型．

活学活用

某医药探讨所开发一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满意如图所示的曲线．

(1)写出服药后y与t之间的函数解析式y＝f(t)；

(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．

解：(1)当t∈[0，1]时，函数的解析式为y＝kt.

将M(1，4)代入，得k＝4，所以y＝4t；

当t∈(1，＋∞)时，因为函数的解析式为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－a).

将(3，1)代入，得a＝3，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－3).

综上，y＝f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\v