高考备考资料之数学人教A版全国用讲义第十四章4选讲141第1课时.docx

§14.1坐标系与参数方程

第1课时坐标系

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．

3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.

1．平面直角坐标系

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ0，,y′＝μ·y，μ0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)?x≠0?))，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

3．常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ2π)

圆心为(r,0)，半径为r的圆

ρ＝2rcos_θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ\f(π,2)))

圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆

ρ＝2rsin_θ(0≤θπ)

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)

过点(a,0)，与极轴垂直的直线

ρcosθ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)θ\f(π,2)))

过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线

ρsin_θ＝a(0θπ)

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(×)

(2)若点P的直角坐标为(1，－eq\r(3))，则点P的一个极坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).(√)

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(√)

(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(×)

题组二教材改编

2．[P15T3]若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()

A．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)

B．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)

C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)

D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)

答案A

解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，

∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；

∴ρ＝eq\f(1,sinθ＋cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2))).

3．[P15T4]在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))

C．(1,0) D．(1，π)

答案B

解析方法一由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)