抢分秘籍 函数的零点与方程的解（五大题型）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（新高考通用）（原卷版）.docx

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函数的零点与方程的解

目录

【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】函数零点所在区间的判定

【题型二】函数零点个数的判定

【题型三】根据函数的零点个数求参

【题型四】二分法

【题型五】等高线

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：对两个计数原理理解混乱

：1.理解函数的零点与方程的解的联系.

2.理解函数零点存在定理，并能简单应用

3.高考以选择填空最后一题为主，难度较大

：深刻理解如下几个概念

1．函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

(3)函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

【题型一】函数零点所在区间的判定

【例1】函数的零点所在的区间是（???）

A． B． C． D．

【例2】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【例3】（多选）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（????）

A． B．

C． D．

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

【变式1】已知定义在R上的函数满足，，且，设函数，则（???）

A．只有1个零点，且该零点在内

B．有2个零点，且2个零点分别在和内

C．只有1个零点，且该零点在内

D．有2个零点，且2个零点分别在和内

【变式2】已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（????）

A． B． C． D．

【题型二】函数零点个数的判定

【例1】若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（???）

A．14 B．13 C．12 D．11

【例2】若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（???）

A．3 B．4 C．5 D．6

【例3】已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．

(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．

【变式1】（多选）函数的零点个数可能是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【变式2】已知函数，，若，则的零点个数为（???）

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式3】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（???）

A．0 B．1 C．2 D．3

【题型三】根据函数的零点个数求参

【例1】已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是．

【例2】（多选）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（????）

A．方程有2个不相等实数根

B．函数在上单调递增

C．函数无最值

D．实数的取值范围为

（活动性栏目）

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.

【变式1】（多选）设函数，则（????）

A．当时，有两个零点

B．当时，是的极大值点

C．当时，点为曲线的对称中心

D．当时，在区间上单调递增

【题型四】二分法

【例1】已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（???）

A． B． C． D．

【例2】已知函数的部分函数值如表所示:

那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（????）

A． B． C． D．

【变式1】用二分法求方程在内的近似解时，记，若，据此判断，方程的根应落在区间内.

【题型五】等高线

【