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浙江省杭州市西湖区绿城育华2024-2025学年高二上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合.则（????）

A． B． C． D．

2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（????）

A． B． C． D．

3．若，且，则（????）

A． B． C． D．

4．已知点，，为坐标原点，向量，则=（????）

A． B． C． D．

5．从集合中依次不放回的任取两个数，记事件“第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（????）

A． B．为不可能事件

C．事件A，B相互独立 D．

6．已知是等差数列的前n项和，且，，则（????）

A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D．

7．已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（????）

A． B． C． D．

8．已知椭圆的短轴长为4，上顶点为B，O为坐标原点，点D为OB的中点，曲线的左、右焦点分别与椭圆C的左、右顶点重合，点P是双曲线E与椭圆C在第一象限的交点，且三点共线，直线的斜率，则双曲线E的实轴长为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（????）

??

A．估计该年级学生成绩的众数为75

B．

C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85

D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（????）．

A．

B．

C．

D．

11．已知抛物线上一点到焦点F的距离为2，又过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（????）

A．抛物线C方程为：

B．设，则周长的最小值为

C．若，则直线AB的倾斜角为

D．x轴上存在一点N，使为定值

三、填空题

12．已知曲线，则该曲线在处的切线方程为

13．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（m为正整数），??若，则m所有的可能取值为

14．在四面体中，面，，，，在四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的半径为，分别是，的重心，直线与球的表面相交于，两点，则线段的长度为

四、解答题

15．已知函数

(1)当时，求函数的单调递增区间；

(2)若函数在处的切线的斜率为，求实数a的值.

16．已知的内角A，B，C的对边分别为，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若点是边BC上，，且，求的面积最大值．

17．如图，四棱锥中，底面ABCD为长方形，侧面是等边三角形，平面平面ABCD

(1)若E为棱SB的中点，为棱AD的中点，求证：平面SCD

(2)，异面直线SB，AD夹角的余弦为．??

①求棱AD的长度；??

②在棱SA上是否存在点，使得平面PBM与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

18．已知数列满足，且，，，设．

(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

19．已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长．

(1)求椭圆的方程；

(2)过原点的直线与相交于B，C两点，直线AB，AC分别与相交于P，Q两点．??

①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；??

②记和的面积分别是，，求的最小值．

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《浙江省杭州市西湖区绿城育华2024-2025学年高二上学期期末数学试题》参考答案

题号

1

2

3