2024_2025新教材高中数学第一章直线与方程2.3直线的一般式方程学案苏教版选择性必修第一册.docVIP

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直线的一般式方程

新课程标准解读

核心素养

1.依据确定直线位置的几何要素，探究并驾驭直线方程的一般式

数学抽象

2.会进行直线方程的五种形式间的转化

数学运算

同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式．

[问题](1)你能发觉这四种形式的直线有什么共同特征吗？

(2)探究它们的方程能否化简为统一的形式．

学问点直线的一般式方程

1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．

2．系数的几何意义：当B≠0时，则－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y轴上的截距)；

当B＝0，A≠0时，则－eq\f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．

1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

提示：都可以．

2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？

提示：都能表示一条直线．

1．直线x－eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角为()

A．30° B．60°

C．120° D．150°

解析：选A由直线的一般式方程，得它的斜率为eq\f(\r(3),3)，从而倾斜角为30°.

2．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．

解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.

答案：2x－y＋1＝0

直线的一般式方程

[例1]依据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

(1)斜率是eq\r(3)且经过点A(5，3)；

(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；

(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.

[解](1)由点斜式方程得y－3＝eq\r(3)(x－5)，

整理得eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0.

(2)由两点式方程得eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－（－1）,2－（－1）)，

整理得2x＋y－3＝0.

(3)由截距式方程得eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，

整理得x＋3y＋3＝0.

eq\a\vs4\al()

求直线一般式方程的策略

(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需确定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；

(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简洁，常用的还是依据给定条件选用四种特别形式之一求方程，然后可以转化为一般式．

[跟踪训练]

1．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．

解析：点斜式方程：y＋4＝eq\r(3)(x－0)，截距式方程：eq\f(x,\f(4\r(3),3))＋eq\f(y,－4)＝1，斜截式方程：y＝eq\r(3)x－4，一般式方程：eq\r(3)x－y－4＝0.

答案：y＋4＝eq\r(3)(x－0)eq\f(x,\f(4\r(3),3))＋eq\f(y,－4)＝1y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)x－y－4＝0

2．把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．

解：把直线l的一般式方程化为斜截式y＝eq\f(1,2)x＋3.

因此，直线l的斜率k＝eq\f(1,2)，它在y轴上的截距是3.

在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6，

即直线l在x轴上的截距是－6.

由上面可得直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为A(－6，0)，B(0，3)，

如图，过A，B两点作直线，就得直线l.

直线的一般式方程的应用

[例2](链接教科书第17页例6)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.

(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；

(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．

[解](1)由题意知m2－2m－3≠0，即m