专题04 构造函数的应用（4大题型）（原卷版）.docx

专题04构造函数的应用

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TOC\o1-1\h\u题型01构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等） 1

题型02构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原） 2

题型03构造函数求参数的最值（范围） 4

题型04构造函数证明不等式 5

题型01构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）

【解题规律·提分快招】

【常见同构形式】

（1）乘积模型：

（2）商式模型：

（3）和差模型：

【典例训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（???）

A． B．

C． D．

2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设，，，则（????）

A． B． C． D．

3．（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（）

A． B． C． D．

4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（????）

A． B． C． D．

5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设，，，则的大小关系为：（?????）.

A． B．

C． D．

6．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知，，，则（???）

A． B． C． D．

题型02构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）

【解题规律·提分快招】

一、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

二、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于，构造

模型2.对于不等式，构造函数.

模型3.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型4.对于不等式，构造函数

模型5.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型6.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造

（2）若，则构造

模型8.对于，构造.

模型9.对于，构造.

模型10.（1）对于，即，

构造．

（2）对于，构造．

模型11.（1）（2）

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

2．（23-24高二下·重庆·期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

题型03构造函数求参数的最值（范围）

【典例训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·湖南·期中）若，，则的最小值为（????）

A． B．0 C． D．

2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（???）

A． B． C． D．0

3．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知，若函数，则的最小值为（????）

A． B．1 C． D．3

4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数在区间单调递减，当时，，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

题型04构造函数证明不等式

【典例训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（???）

A． B．

C． D．

2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知，，且，则（????）

A． B． C． D．

二、解答题

3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．

(1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值．

(2)当时，证明：，．

4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若，证明：.

5．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数.

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