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7分数指数幂教案

?一、教学目标

1.知识与技能目标

-理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂与根式的互化。

-掌握有理数指数幂的运算性质，能运用性质进行相关计算。

2.过程与方法目标

-通过类比整数指数幂，引导学生自主探索分数指数幂的定义，培养学生的类比推理能力。

-在分数指数幂与根式互化及幂的运算过程中，提高学生的运算求解能力。

3.情感态度与价值观目标

-通过数学文化的渗透，让学生感受数学的历史悠久和魅力，激发学生学习数学的兴趣。

-在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和积极探索的学习态度。

二、教学重难点

1.教学重点

-分数指数幂的概念和运算性质。

-分数指数幂与根式的互化。

2.教学难点

-对分数指数幂概念的理解，尤其是分数指数幂中底数的取值范围。

-有理数指数幂运算性质的灵活运用。

三、教学方法

讲授法、讨论法、自主探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

1.引导回顾

提问学生整数指数幂的定义和运算性质，让学生回答。

例如：\(a^n=a\cdota\cdot\cdots\cdota\)（\(n\)个\(a\)相乘，\(n\inN^+\)），\(a^0=1\)（\(a\neq0\)），\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(a\neq0\)，\(n\inN^+\)），以及幂的运算性质\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)，\((a^m)^n=a^{mn}\)，\((ab)^n=a^nb^n\)等。

2.情境引入

展示一张细胞分裂的图片，介绍细胞分裂的规律：一个细胞经过一次分裂变成2个，经过两次分裂变成\(2^2=4\)个，经过三次分裂变成\(2^3=8\)个......那么经过\(\frac{1}{2}\)次分裂会变成多少个呢？这就引出了分数指数幂的概念，今天我们就来学习分数指数幂。

（二）讲解新课（25分钟）

1.分数指数幂的概念

-根式的复习

给出一些根式，如\(\sqrt[3]{8}\)，\(\sqrt[4]{16}\)等，让学生计算并回顾根式的定义和性质。

一般地，如果\(x^n=a\)（\(n\gt1\)，\(n\inN^+\)），那么\(x\)叫做\(a\)的\(n\)次方根，\(n\)叫做根指数，\(a\)叫做被开方数。

-分数指数幂的引入

以\(a^{\frac{1}{n}}\)为例，类比\(a^n\)的定义，我们规定\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)（\(a\gt0\)，\(n\inN^+\)，\(n\gt1\)）。

例如，\(2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)，\(4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\)，\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\)。

强调：这里\(a\)的取值范围是\(a\gt0\)，因为当\(n\)为偶数时，负数没有偶次方根。

-推广到一般分数指数幂

对于分数指数幂\(a^{\frac{m}{n}}\)（\(a\gt0\)，\(m,n\inN^+\)，\(n\gt1\)），规定\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)，\((a^{\frac{m}{n}})^n=a^m\)，\(a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\)。

例如，\(4^{\frac{3}{2}}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8\)，\(27^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27^2}}=\frac{1}{9}\)。

2.分数指数幂与根式的互化

-例题讲解

例1：将下列根式化为分数指数幂

\(\sqrt[5]{a^3}\)，\(\sqrt[3]{x^2}\)，\(\sqrt[4]{(a+b)^3}\)

解：\(\sqrt[5]{a^3}=a^{\frac{3}{5}}\)，\(\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}\)，\(\sqrt[4]{(a+b)^3}=(a+b)^{\frac{3}{4}}\)