2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题5.4 分式方程的应用【十大题型】(教师版).docx

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专题5.4分式方程的应用【十大题型】

【北师大版】

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【题型1行程问题】 1

【题型2工程问题】 4

【题型3销售问题】 8

【题型4数字问题】 11

【题型5图形问题】 13

【题型6和差倍分问题】 19

【题型7比值问题】 22

【题型8航行问题】 27

【题型9素材问题】 30

【题型10方案问题】 39

【题型1行程问题】

【例1】（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）我国的铁路旅客列车，按不同的运行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G字头，表示高速动车组旅客列车；D字头，表示动车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K字头，表示快速旅客列车，等等．吕梁站至太原南站约180km，随着交通的发展吕梁站至太原南站已开通了多次列车，其中“C150”次列车与“K1334”次列车相比，时速加快，并安全性更好．已知“C150”次列车的平均速度是速度是“K1334”次列车的43倍，并“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．求“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别是多少．

【答案】“C150”次列车和“K133”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别为90km/h，120

【分析】设“K1334”次列车的平均速度是xkm/h，则“C150”次列车的平均速度为4

【详解】解：设“K1334”次列车的平均速度是xkm/h，则“C150”次列车的平均速度为

由题意，得1804

整理，得135x

方程两边乘2x，得270+x=360，

解得，x=90，

经检验x=90是原方程的解，43

答：“C150”次列车和“K133”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别为90km/h，120

【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键．

【变式1-1】（2023上·湖南长沙·八年级统考期末）八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120公里，队伍8:00从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地，问：

(1)大巴与小车的平均速度各是多少？

(2)刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

【答案】(1)大巴的平均速度为60公里/时，则小车的平均速度为90公里/时

(2)刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里

【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；

（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．

【详解】（1）解：设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得：

120x

解得：x=60，

经检验：x=60是原方程的解，

∴1.5x=90（公里/时），

答：大巴的平均速度为60公里/时，则小车的平均速度为90公里/时；

（2）解：设刘老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：

12

解得：y=30，

答：刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．

【变式1-2】（2023·福建省泉州第一中学八年级期末）如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？

【答案】王老师的步行速度是5?km/h，则王老师骑自行车的速度是15

【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060

【详解】设王老师的步行速度是x?km/h

由题意可得：3+3+0.53x?0.5

经检验，x=5是原方程的根，

∴3x=15

答：王老师的步行速度是5?km/h

【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.

【变式1-3】（2023上·河北保定·八年级校联考期末）某日，河北经贸大学的青年志