第02讲 万有引力与重力及地壳内某深度的物理量求算（人间）高考物理复习（原卷版）.docx

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模块6万有引力与航天各模块大招

第02讲万有引力与重力及地壳内某深度的物理量求算（人间）（原卷版）

目录

TOC\o1-3\h\u【内容一】万有引力与重力的关系模型 1

【内容二】重力与纬度的关系模型 1

【内容三】地球重力加速度及变化模型 2

【内容四】地壳内某深度的物理量求算模型 4

技巧总结

万有引力与重力关系

技巧总结

内容一：万有引力与重力的关系

地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力方向垂直指向地轴(不一定指向地心)

内容二：重力与纬度的关系

地面上物体的重力随纬度的升高而变大。

①赤道上：重力和向心力在一条直线上，即，所以。

②地球两极处：向心力为零，所以。

③其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小，重力的方向偏离地心。

万有引力的效果有两个，一个是重力，另一个是物体随地球自转需要的向心力，如图所示：重力是万有引力的一个分力.

内容三：地球重力加速度及变化

⑴地球表面的重力加速度

若不考虑地球自转，在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即即，这是一个常用的“黄金代换式”（表示天体表面的重力加速度）．

⑵利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：

在行星表面重力加速度：，所以

在离地面高为的轨道处重力加速度：，得

注意：①物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，重力约等于万有引力，即。

②在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小。

③地球的人造卫星，卫星所受的万有引力等于重力，由于万有引力提供向心力，所有卫星的向心加速度等于该点的重力加速度，卫星处于完全失重状态。

内容四：地壳内某深度的物理量求算

技巧总结

当物体间的作用力不符合万有引力的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这种方法是“分割求和”的思想方法，但此处的“和”是矢量和。对本来是非对称的物体，通过割补后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法称为“填补法”（或“割补法”）。这类题目一般采用“填补法”进行等效计算。

模型演练

模型Ⅰ（挖中心）：如图所示，一个质量均匀分布的半径为的球体对球外质点的万有引力为。如果在球体中央挖去半径为的一部分球体，且，则原球体剩余部分对质点的万有引力为？

破解方法：设球心点与球外质点的距离为，没挖去前，球体质量为，球外质点质量为，挖去部分的质量为，根据，可知

则没挖去前，球体对质点的万有引力

挖去的部分对球外质点的万有引力

则球体剩余部分对球外质点的引力

模型Ⅱ（挖任意）：如图所示，地球半径为R，O为球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的中点．设想在地球内部挖掉一以B为圆心，半径为的球，忽略地球自转影响，将地球视为质量分布均匀的球体．则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为？

破解方法：挖前，质量为m的物体在A点受到的重力

挖去后质量为的球体后在A点受到的重力，

联立各式解得

模型Ⅲ：密度均匀的球体半径为、质量为，现从球体中挖去直径为的球体，将球体放置在距离球体的球心为处，如图所示，白色部分为挖去后的空心。已知半径为的球体的体积为，引力常量为，则球体剩余部分对球体的万有引力大小为？

破解方法：小球B的质量为

挖去小球前，A对B的万有引力

挖去部分对B的引力为

则剩余部分对B的万有引力

例题演练

例1．我国在深海领域有了重大的发展，“蛟龙号”载人潜水器在西南印度洋“龙旅”热液区完成两次下潜科考任务．若把地球看做质量分布均匀的球体，且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．已知地球半径为R，“蛟龙号”下潜深度为d，地球表面重力加速度为g，球体积计算公式是．则“蛟龙号”所在处的重力加速度大小是

A． B． C． D．

解：令地球的密度为,则在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有:，

结合两个公式可解得：，故C正确；ABD错误；故选C

例2．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A． B．

C． D．

解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有，由于地球的质量为，所以重力加速度的表达式可写成：．根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度，所以有，故B正确；

例3．设想把质量为m的物体放置地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（）