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湖北省宜昌市高一数学下学期期末考试试题

一、选择题（每题5分，共60分）

1.若角$\alpha$的终边经过点$P(3,4)$，则$\sin\alpha$的值为（）

A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{4}{5}$D.$\frac{4}{5}$

答案：C

解析：已知角$\alpha$的终边经过点$P(3,4)$，根据正弦函数的定义$\sin\alpha=\frac{y}{r}$，其中$y=4$，$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=5$，所以$\sin\alpha=\frac{4}{5}$。

2.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期是（）

A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$

答案：B

解析：对于函数$y=A\sin(\omegax+\varphi)$，其最小正周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$，在函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$中，$\omega=2$，所以$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。

3.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,m)$，若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，则$m$的值为（）

A.4B.5C.6D.7

答案：C

解析：若两个向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$平行，则$x_1y_2x_2y_1=0$。已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,m)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，则$1\timesm3\times2=0$，即$m6=0$，解得$m=6$。

4.等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_3=6$，则$a_2$等于（）

A.3B.4C.8D.10

答案：B

解析：在等差数列$\{a_n\}$中，若$m,n,p\inN^+$，且$m+p=2n$，则$a_m+a_p=2a_n$。因为$1+3=2\times2$，所以$a_1+a_3=2a_2$，已知$a_1=2$，$a_3=6$，则$2a_2=2+6=8$，解得$a_2=4$。

5.已知$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，且$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\sin\alpha$的值为（）

A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{2}{3}$

答案：A

解析：根据三角函数的平方关系$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，已知$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，且$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\sin\alpha\gt0$，所以$\sin\alpha=\sqrt{1\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1(\frac{1}{3})^{2}}=\sqrt{1\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

6.函数$y=\log_2(x1)$的定义域是（）

A.$(0,+\infty)$B.$(1,+\infty)$C.$[0,+\infty)$D.$[1,+\infty)$

答案：B

解析：对于对数函数$y=\log_ax$，其定义域为$(0,+\infty)$，所以在函数$y=\log_2(x1)$中，$x1\gt0$，解得$x\gt1$，即定义域为$(1,+\infty)$。

7.若$a\gtb\gt0$，则下列不等式成立的是（）

A.$a^2\ltb^2$B.$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}$C.$ac^2\gt