第9章轴对称 专题训练十一　用轴对称求解的相关问题（含答案） 数学华东师大版七年级下册.docxVIP

2025年

专题训练十一用轴对称求解的相关问题

eq\o(eq\a())求线段

1．(2024哈尔滨南岗区月考)如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路l上建一个货站，使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择l上C、D、E、F4个点中的________点建立货站．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10.如果点D、E分别为边BC、AB上的动点，那么AD＋DE的最小值是________．

eq\o(eq\a())求周长

3．(2024长春九台区期末)如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM、ON于点A、B，若GH的长为10cm，则△PAB的周长为________．

eq\o(eq\a())求角度

4．(2024绥化中考)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝________．

5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝140°，M、N分别是边DC、BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN＝________°.

eq\o(eq\a())求面积

6．(2024毕节织金县期末)如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线MN上运动时，∠P1OP2＝________°，△OP1P2面积的最小值为________．

7．如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，CD＝3，BD＝2.点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S△EDC＝________．

【详解答案】

1．F解析：由题意，B、B′关于直线l对称，∴AF＋BF＝AB′，此时点F满足条件．

2．6解析：作点A关于BC的对称点A′，作A′E⊥AB于点E，交BC于点D，连结CA′、BA′，如图．

则AD＝A′D，

∴AD＋DE＝A′D＋DE≥A′E.

即AD＋DE的最小值为A′E.

∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，

∴AA′＝12，

∵S△AA′B＝12AA′·BC＝12AB·A′

∴A′E＝AA·BCAB＝

即AD＋DE的最小值为9.6.

3.10cm解析：∵点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，∴AP＝AG，BP＝BH.

∴△PAB的周长＝GH.∵GH的长为10cm，∴△PAB的周长＝10cm.

4．80°解析：如图，作点P关于OA的对称点E，连结OP、EP、EO、EM，

∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，

∠EOM＝∠MOP.

作点P关于OB的对称点F，连结NF、PF、OF，

∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，

∠PON＝∠NOF.

∴PM＋PN＋MN＝EM＋NF＋

MN≥EF，当E、M、N、F在同一条直线上时，△PMN周长最短．

又∵∠EOF＝∠EOM＋∠MOP＋

∠PON＋∠NOF，

∠AOB＝∠MOP＋∠PON，

∴∠EOF＝2∠AOB.

又∵∠AOB＝50°，

∴∠EOF＝100°.

∵在△EOF中，∠OEM＋∠OFN＋

∠EOF＝180°，

∴∠OEM＋∠OFN＝180°－100°＝80°.

∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，

∴∠MPO＋∠OPN＝80°.

∴∠MPN＝∠MPO＋∠OPN＝80°.

5．100解析：如图，分别作点A关于CD、CB的对称点E、F，连结EF分别交CD、CB于点H、G，连结AH、AG、EM、FN.

由对称性知EM＝AM，EH＝AH，NF＝NA，GF＝GA.

∴AM＋MN＋NA＝EM＋MN＋NF≥EF.

∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，△AMN的周长最小．

由对称性知∠GAF＝∠GFA，

∠HEA＝∠HAE.

∴∠AGH＝2∠GFA，

∠AHG＝2∠HEA.

∵∠DAB＝140°，

∴∠GFA＋∠HEA＝180°－∠DAB＝40°.

∴∠AGH＋∠AHG＝2∠GFA＋2∠HEA＝2×40°＝80°，

∴∠GAH＝180°－(∠AGH＋∠AHG)＝180°－80°＝100°，

即△AMN的周长最小时，

∠MAN＝100°.

6．908解析：如图，连结OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于点H.

∵S△OMN＝12·MN·OH＝12

MN＝6，∴OH＝4.

∵点P关于OA的对称点为P1，点P关于OB的对称点为P2，

∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2.

∵∠AOB＝45°，

∴∠P1OP2＝