专题09 杨辉三角与裴波那契数列（2大题型）（解析版）.docx

专题09杨辉三角与裴波那契数列

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TOC\o1-1\h\u题型01杨辉三角中的数列问题 1

题型02裴波那契数列 6

题型01杨辉三角中的数列问题

【解题规律·提分快招】

1、第二层是自然数列

2、第三层是三角数列

这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．

3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列

【典例训练】

一、单选题

1．（2024·江西景德镇·三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据杨辉三角每行的数字特征，结合等比数列求和公式可得，由此可整理得到；根据的整数项可确定数列的奇数项和偶数项的变化规律，结合等差数列通项公式可求得结果.

【详解】由题意知：第行数字之和构成的数列的通项为，

，；

则数列的整数项为：，

数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列，

，，.

故选：B.

二、填空题

2．（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为．

【答案】211

【分析】设数列为,根据题意，累加法求出的通项公式，求出.

【详解】设数列为,根据题意，

则累加可得,

所以，故.

故答案为：.

3．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则；若数列的前项和为Sn，则.

【答案】

【分析】由题意可知是第5行第4个数，故而直接能得到答案；

令每行的序数与该行的项数相等可得第行最后项在数列中的项数为；根据可求得，进而可确定位于第行第个；根据每一行数字和的规律可知，计算可得结果.

【详解】由题意可知是第5行第4个数，所以；

使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为：

设位于第行，则：，解得：

且第行最后一项在数列中的项数为：，

位于杨辉三角数阵的第行第个

而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为

依此类推，第行各项的和为

故答案为：4，.

【点睛】本题考查与杨辉三角有关的数列的前项和的求解问题，关键是能够根据杨辉三角的数字特征，确定第项所处的位置，通过对于每一行各项和的规律的总结可将问题转化为等比数列求和问题.

4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列：第三行得到数列，则第5行从左数起第8个数的值为；表示第行所有项的乘积，设，则.

【答案】8365

【分析】空1：直接写出第5行的数列，即可解决；空2：首先归纳出，进而可以求得数列的通项公式，即可得解得.

【详解】空1：由题意可得：第5行得到数列，

所以第5行从左数起第8个数的值为8；

空2：根据题意可得：，

，

，

总结可得，

所以，可得.

故答案为：8；365.

【点睛】关键点点睛：根据题意列出前几项，并据此归纳总结一般规律，分析运算.

5．（23-24高三下·重庆璧山·阶段练习）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则．

???

??????

?????????

????????????

???????????????

??????????????????

【答案】

【分析】由题设关系，应用裂项相消法可得，进而可得．

【详解】由可得：，

所以，

所以

，

所以．

故答案为：．

题型02裴波那契数列

【解题规律·提分快招】

一、斐波那契数列

1、斐波那契数列概念

把这个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…称为斐波那契数列，一般记为{Fn}。

2、斐波那契数列的递推公式

3、斐波那契数列的通项公