2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数2.2第1课时指数函数的图象和性质学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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指数函数的图象和性质

课标解读

课标要求

素养要求

1.能用描点法画出详细指数函数的图象，探究并理解指数函数的单调性与特别点.

2.驾驭指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式.

逻辑推理——能依据指数函数的图象说明指数函数的性质，并解决实际问题.

第1课时指数函数的图象和性质

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

底数互为倒数的两个指数函数的图象关于①y轴对称.依据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.

一般地，指数函数的图象和性质如表所示.

0a1

a1

图像

定义域

R

值域

②(0,+∞)

性质

过定点③(0,1)，即x=④0时，y=⑤1

减函数

增函数

自主思索

1.若a0且a≠1，则函数y=ax与

答案：提示两函数的图象关于y轴对称.

2.“指数函数的图象肯定在x轴的上方这种说法正确吗?

答案：提示正确.

名师点睛

1.底数a与1的大小关系确定了指数函数图象“升”与“降”.当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的，当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的.

2.函数y=ax(a＞0,且a≠1)的图象的改变趋势：当a＞1时，底数越大，图象越靠近y轴；当0＜a＜1

3.指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象不经过第三、四象限.

4.解简洁指数不等式问题的留意点

（1）形如ax＞ay的不等式，可借助y=ax的单调性求解．假如a的值不确定，那么需分0＜a＜1和

（2）形如ax＞b的不等式，可以将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助

（3）形如ax

5.（1）探讨y=af(x)型函数的单调区间时，要

还是0＜a＜1.

当a＞1时，y=af(x)与

当0＜a＜1时，y=af(x)与

（2）探讨y=f(ax)型函数的单调区间时，要留意a

互动探究·关键实力

探究点一指数函数的图象

精讲精练

例（1）函数y=ax-a(a＞0,

A.B.

C.D.

（2）已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y=mx，②

A.B.

C.D.

答案：（1）C

（2）C

解析：（1）当x=1时，y=a1-a=0

（2）因为0＜m＜n＜1，所以y=mx与y=nx都是减函数，故解除A、B.作直线

解题感悟

1.底数对函数y=ax(a0，且a≠1)

⒉指数函数的图象的变换

（1）平移规律:设b0，

①y=ax的图象

②y=ax的图象

③y=ax的图象

④y=ax的图象

（2）对称规律

y=ax(a0，且a≠1的图象

与y=a-x的图象关于y轴对称

与y=-ax的图象关于x轴对称

与y=-a-x的图象关于坐标原点对称

迁移应用

1.指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=

A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜c

C.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c

答案：B

探究点二指数函数的定义域和值域

精讲精练

例求下列函数的定义域和值域：

（1）y=21x-4

答案：（1）由题意得，x-4≠0，

∴x≠4，

∴函数的定义域为{x|x≠4}.∵1x-4≠0,∴

（2）由题意得，函数的定义域为R.

∵|x|≥0,∴y=(

∴函数的值域为[1,+∞).

解题感悟

求函数y＝a

（1）定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使f(x)有意义的

（2）值域：①换元，令t＝f(x);

②求t＝f(x)的定义域x∈D;

③求t＝f(x)的值域t∈M

④利用y＝ax的单调性求y＝a

提示：（1）通过建立不等式组求定义域时，要留意解集为各不等式解集的交集.（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要留意分类探讨.

迁移应用

1.求下列函数的定义域和值域：

（1）y=1-3x

答案：（1）要使函数有意义，则1-3x≥0,即3x≤1=30,因为函数y=3

因为x≤0,所以0＜

所以0≤1-3

即函数y=1-3x

（2）由题意得，函数的定义域为R.

∵

∴(

又∵(

∴函数的值域为(0,16].

探究点三定点问题

精讲精练

例函数y=ax-2+7(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点A,且点A在幂函数f(x)=

答案：27

解析：当x-2=0时，x=2,y=a

∴函数y=ax-2+7

又点A在幂函数f(x)=x

∴2α

∴f(x)=

∴f(3)=3

解题感悟

指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点(0,1)，即令指数等于0，求得的点

迁移应用

1.已知函数f(x)=4+ax-1(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点P

答案：