2024年中国科技大学创新班入围考试数学试卷真题（答案解析） .pdf

2024年中国科学技术大学少年班创新班

入围考试数学试题

一.填空(90分，每题5分，共18题,)

1.设a,eR,下列命题正确的是・

(1)a0是|q|0的充要条件

(2)若a,b为无理数，则ab为无理数

(3)Va,36gZ,使0《Q+bl

(4)MeQ使\ja2+1gQ

2.三个集合St={a|a1/32),S2=|alog,：S：,=a|〈弟，

求(s】ns2)us3=.

3.x2+/=2|x|-2y所围成的面积・

4.求/(x)=sin—+sin—+sin—的最小正周期________・

v7234

5.已知dlBC中匕4=30。，|4B|=2,|BC|=扼，求\AC\=・

6.A为复平面内一定点，回=2,同=3,4与E夹角为60。，

AP=xa+yP，0x,^1,求P所围成的面积.

7.P点在复平面内坐标为(aM),将序顺时针旋转90。得到。0,Q点坐标

为・

8.x2+y2-axy+x+y=l是双曲线，求a的取值范围・

9.(暂缺)

10.=cos—+isin—,|1-z|+11-z2|+11-z3|+•••+11-zn~x|=.

11.一只蚂蚁从一个边长为1的正方体顶点沿棱长爬行，爬过所有棱长且回

到原点的最短路径为.

12.x,ygR,cos(x+j)+cosx+cosy的取值范围________・

13.exCx,对任意x0均成立，求C的范围________・

7

14.到石分别为22,23,35,40,45,50,55,求(teR)的最小值

15.求+f+的常数项系数・

16.8本不同书分给5个人，3个人各拿一本，1个人拿两本，1个人拿三本，共

种分配法.

17.4、B事件相互独立，且P(A)=P(B),P(AUB)=0.64,则P(A)=

18.甲乙两人比赛，甲胜概率为p,乙胜概率为l-p,一方比另一方多胜两

局判胜，则甲胜的概率为.

二、(10分)给正六面体8个顶点、6个面中点编号1-14,是否能让每个面上

顶点与中心编号和相等？并证明之.

2024年中国科学技术大学少年班创新班入围考试数学参考答案

一、填空题(本题共18小题,每小题5分洪90分)

1设sbwR,则下列说法正确的是▲

r是|a|0的充要条件；②若。/都是无理数，则沥也是无理数

③Xfa.beZf^oa+bl④mQ使得

解：①显然正确，②显然错误；

对于③，设a=m+cr其中m是q的整数部分,c是q的小数部分，则取人=-m,此时有

。+力=亿+(?+/)=CE[0,1)

3

对于④，取。=一即可.则选①③④

4

-112

2若£=杞|次2},£=\a|顷-},53=01log-1)，则(ScS2)u$=W

22

解:月=(—8,8),S2=(log32,+oc),S3=(0,g)u(l,+8),因此需要比较log32,§的大小.事

22

实上33=折扼=2,因此log325,因此(51nS2)uS3=(0,+x)

3曲线x2+y2=2\x\-2\y\^围成的封闭图形的面积是▲

解:注意到该图形同时关于X,*轴对称，因此只考虑第一象限内的情形.在第一象限内方程可

整理为(*一1