2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题4.4 因式分解章末八大题型总结(培优篇)(教师版).docx

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专题4.4因式分解章末八大题型总结（培优篇）

【北师大版】

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【题型1因式分解的概念辨析】 1

【题型2因式分解（提公因式与公式法综合）】 3

【题型3因式分解（十字相乘法】 5

【题型4因式分解（分组分解法）】 7

【题型5利用因式分解求值】 9

【题型6利用因式分解解决新定义问题】 12

【题型7利用因式分解解决整除问题】 15

【题型8因式分解中的规律探究问题】 17

【题型1因式分解的概念辨析】

【例1】（2024八年级下·广西贵港·期中）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得(x?1)(x+6)；小芳看错了n的值，分解得(x?2)(x+1)，那么原式x2+mx+n正确分解为.

【答案】（x+2）（x?3）

【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．

【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，

∵小刚看错了m的值，

∴n＝﹣6；

（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，

∵小芳看错了n的值，

∴m＝﹣1．

∴x2+mx+n

＝x2﹣x﹣6

＝（x﹣3）（x+2）．

故答案为：（x﹣3）（x+2）．

【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键．

【变式1-1】（2024八年级下·广东深圳·期中）下列从左到右的变形，是分解因式的是(????)

A．4a2+2a=2a

C．a+3a?3=a

【答案】A

【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．

【详解】A、4a

B、x2

C、a+3a?3

D、x2

故选：A．

【点睛】本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义．

【变式1-2】（2024八年级下·山东烟台·期中）若3x﹣1是多项式6x2+mx﹣1的一个因式，则m＝．

【答案】1

【分析】设多项式6x2+mx﹣1的另一个因式是ax+b，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，计算对比得出答案．

【详解】解：设多项式6x2+mx﹣1的另一个因式是ax+b，

∴3x?1ax+b

∴3a=6，?b=?1，即a=2，b=1，

∴m=3b?a=1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键．

【变式1-3】（2024八年级下·上海浦东新·期中）如果关于x的二次三项式x2?4x+m在实数范围内不能因式分解，那么m的值可以是

【答案】5

【分析】根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m应是3或-5；若用完全平方公式分解，m应是4，若用提公因式法分解，m的值应是0，排除3、-5、4、0的数即可.

【详解】当m=5时，原式为x2

故答案为：5.

【点睛】此题考查多项式的因式分解方法，熟记每种分解的因式的特点及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟练运用解题.

【题型2因式分解（提公因式与公式法综合）】

【例2】（2024八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）因式分解a2x?2ax+x?x

【答案】x

【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式和平方差公式分解因式．

【详解】解：a

=x

=x

=x

【变式2-1】（2024八年级下·四川眉山·期中）下列因式分解不正确的是（????）

A．3

B．?4b2

C．x

D．a

【答案】C

【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．

利用提取公因式，公式法分解得到结果，即可做出判断．

【详解】解：A.3a

B.?4b

C.x2

D.a2

故选：C．

【变式2-2】（2024八年级下·四川眉山·期中）因式分解：

(1)?10xy

(2)a3

【答案】(1)y

(2)(a+b)

【分析】本题考查的因式分解，熟知分组分解法与提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键．

（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；

（2）利用分组分解法因式分解即可．

【详解】（1）解：?10x

=y(?10xy+

=y(5x?y)

（2）解：a

=(

=

=(a+b)(

=(a+b)

【变式2-3】（2024八年级下·广东茂名·阶段练习）小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x?1，a?b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将

A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国

【答案】D

【分析】将所给的多项式