2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题6.4 构造三角形中位线的四种常用方法(教师版).docx

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专题6.4构造三角形中位线的四种常用方法

【北师大版】

考卷信息：

本套训练卷共24题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生构造三角形中位线的四种常用方法的理解！

【题型1连接两点构造三角形的中位线】

1．（2023上·山西临汾·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（????）

??

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接AE，作AH⊥BC于点H．由三角形中位线的性质得FM=12AE，由垂线段最短可知当AE最小，即点E与点H重合时FM

【详解】解：连接AE，作AH⊥BC于点H．

??

∵点D，E分别是AB，BC边上的动点，

∴FM是△ADE的中位线，

∴FM=1

∴当AE最小，即点E与点H重合时FM的值最小．

设BH=x，则CH=10?x，

∵102

∴x=2.8，

∴AH=10

∴FM的最小值为4.8．

故选D．

2．（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为

??

【答案】1

【分析】根据勾股定理得到AB=5，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=5，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF=FG，AG=BC=3

【详解】解：∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°

∵BC=3，AC=4，

∴AB=5，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=

∵BD为∠ABC

∴∠ABD=

∴∠ABD=

∴AB=AD=5，

连接BF并延长交AD于G，

??

∵AD∥BC，

∴∠AGF=

∵F是AC的中点，

∴AF=CF，

在△AFG和△CFB中，

∠AFG=∠CFB∠AGF=∠CBF

∴△AFG≌△CFB(AAS

∴BF=FG，AG=BC=3，

∴DG=5?3=2，

∵E是BD的中点，

∴EF=1

故答案为：1．

【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

3．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）（1）【定理】如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以得出：

①DE与BC位置关系是．

②DE与BC数量关系是．

（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD=6，CD=4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF的长度．

（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB=12，BC=16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则EF=．

【答案】（1）①DE∥BC；②DE=1

【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明△ADE∽△ABC，即可证明；

（2）连接AR，在Rt△ADR中求出AR，再由中位线的性质求EF

（3）在Rt△AFB中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出DF，再由中位线性质求DE，即可求EF

【详解】解：（1）∵点D、E分别是AB与AC的中点，

∴ADAB

∴△ADE∽△ABC，

∴DEBC

∴DE∥

故答案为：①DE∥BC；②

（2）如下图，连接AR，

∵E是AP的中点，F是PR的中点，

∴EF=1

∵R是CD的中点，CD=4，

∴DR=1

∵AD=6，∠D=90°，

∴AR=A

∴EF=10

（3）∵BC=16，点D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE=1

∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，AB=12，

∴DF=1

∴EF=DE?DF=2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了三角形中位线的的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握中位线的定义及性质、三角形相似的判定及性质是解题的关键．

4．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE．求证：DE=EF．

【答案】见解析

【详解】证明：如图，连接MC，BN．

∵△ABM和△CAN是等边三角形，

∴∠BAM=∠CAN=60°，AM=AB，AN=AC，

∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，即∠MAC=∠BAN．

在△MAC和△BAN中，AM=AB,

∴△MAC≌△BAN(SAS)，

∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，

∴DE=12MC，E