2024-2025学年北师版初中数学八年级下册专项培优讲义+专项练习 专题6.6 平行四边形中的定值、最值问题三大题型(教师版).docx

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专题6.6平行四边形中的定值、最值问题三大题型

【北师大版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中的定值、最值问题三大题型的理解！

【题型1定值问题】

1．（2024八年级下·浙江金华·期中）如图，四边形ABCD和AEFD均为平行四边形，边AE，CD相交于点P，边BC，EF在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则△ACE的面积与△PCF的面积差的变化情况是（）

??

A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变

【答案】D

【分析】连接BP，由平行四边形对边平行且相等可得CD∥AB，BC=AD=EF，由同底等高的两个三角形面积相等得到S△ACP=S△BCP，由等底同高的两个三角形面积相等得到

【详解】解：连接BP，

??

∵四边形ABCD和AEFD均为平行四边形，

∴CD∥AB，BC=AD=EF，

∵边AE，CD相交于点P，边BC，EF在同一直线上，

∴S△ACP=S

∴S△ACP

∴S△ACP

即S△ACE

∴S△ACE

∴当点P从点C出发向点D运动时，△ACE的面积与△PCF的面积差一直不变．

故答案为：D．

【点睛】本题主要考查了平行四边形，平行线，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质、平行线间的距离相等、三角形的面积公式，等底等高的三角形面积相等，是解决问题的关键．

2．（2024·湖南株洲·二模）如图，直线MA平行于NB，定点A在直线MA上，动点B在直线BN上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有∠PAM=∠PBN，则在整个运动过程中，下列各值①∠APB；②PA+PB；③PAPB；④S△PAB中，一定为定值的是

??

【答案】①②/②①

【分析】过点P作PQ∥AM，交B′P′于点Q，根据平行线的判定和性质，推出∠APB=∠APQ+∠BPQ=2∠PAM，判断①；证明四边形QPBB′

【详解】解：过点P作PQ∥AM，交B′P′

??

∵MA∥NB，

∴PQ∥MA∥NB，

∴∠APQ=∠PAM,∠BPQ=∠PBN，

∵∠PAM=∠PBN，

∴∠APQ=∠PAM=∠BPQ=∠PBN，

∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=2∠PAM，为定值，故①正确；

∵∠P

∴PB∥P

∴四边形QPBB′为平行四边形，

∴PB=QB′，

∴AP

∴PA+PB为定值，故②正确；

由图可知，当点B从下往上运动时，AP逐渐减小，

∵PA+PB为定值，??

∴BP逐渐增大，

∴PAPB

假设∠PAM=45°，则：∠APB=90°，

∴△APB为直角三角形，

∴S△APB

设PA+PB=m，

∴PA=m?PB，

∴S△APB

∵PB不是定值，

∴S△APB的值也不是定值，故④错误；

故答案为：①②．

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形．

3．（2024八年级下·陕西西安·期中）问题探究：

（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是．

（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．

问题解决

（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．

【答案】（1）932；（2）存在，4+2

【分析】（1）先求出平行四边形ABCD的面积，利用面积和差关系可得四边形BMDN的面积=53?32DM

（2）在RtΔABC中，由勾股定理可求

（3）如图3，过点D作DH//AC，交BC的延长线于H，过点B作BN⊥DH于N，可证四边形ADHC是平行四边形，可AD=CH，AC=DH，则ΔAOD与ΔBOC的周长之和为10+BH，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解．

【详解】解：（1）过点B作BE⊥AD，交DA延长线于E，过点B作BF⊥CD，交DC的延长线于F，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AD//BC，AB=CD=3，BC=AD=5，

∴∠BAE=∠ABC=60°，∠BCF=∠ABC=60°，

∴∠ABE=∠CBF=30°，

∴AE=12AB=

∴BE=332

∴四边形ABCD的面积=AD×BE=15

∵DM+DN=4，

∴DN=4?DM，

∴CN=DC?DN=3?

∵四边形BMDN的面积

=S

∴四边形BMDN的面积=53

则当DM有最小值时，四边形BMD