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HPM视角下“相似三角形的应用”教学设计

?一、教学背景

相似三角形是初中数学中的重要内容，它在解决实际问题中有着广泛的应用。通过HPM（数学史与数学教育）视角进行教学，能够让学生更好地理解数学知识的发展历程，感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣和积极性。

二、教学目标

1.知识与技能目标

-学生能理解相似三角形的性质，并能运用相似三角形的判定和性质解决实际生活中的测量问题。

-学会构建相似三角形模型，将实际问题转化为数学问题进行求解。

2.过程与方法目标

-通过观察、分析、实践操作等活动，培养学生的观察能力、逻辑推理能力和数学建模能力。

-经历从实际问题中抽象出相似三角形模型的过程，体会数学化归思想。

3.情感态度与价值观目标

-感受数学在实际生活中的广泛应用，体会数学的实用价值，增强学生学习数学的自信心。

-通过了解相似三角形在历史上的应用，激发学生对数学文化的兴趣，培养学生的数学素养。

三、教学重难点

1.教学重点

-掌握相似三角形的判定和性质，并能运用其解决实际测量问题。

-学会构建相似三角形模型解决实际问题。

2.教学难点

-如何引导学生从实际问题中抽象出相似三角形模型，合理选择相似三角形的判定方法进行求解。

-培养学生运用数学知识解决复杂实际问题的能力和创新思维。

四、教学方法

1.问题驱动法：通过设置一系列实际问题，引导学生思考、探究，激发学生的学习兴趣和主动性。

2.小组合作学习法：组织学生进行小组合作，共同探讨问题，培养学生的合作交流能力和团队精神。

3.讲授法：对相似三角形的相关知识进行系统讲解，确保学生掌握基本概念和方法。

4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示图片、视频等资料，直观呈现教学内容，帮助学生理解。

五、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

1.展示一些古代建筑（如埃及金字塔、希腊帕特农神庙等）的图片，提问学生：这些宏伟的建筑在建造过程中，古代的工匠们是如何测量它们的高度等数据的呢？

2.引出课题：相似三角形的应用。

（二）知识回顾（3分钟）

1.提问学生相似三角形的判定方法有哪些？

-学生回答：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。

2.相似三角形有哪些性质？

-学生回答：相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

（三）相似三角形在历史中的应用（7分钟）

1.利用多媒体展示泰勒斯测量金字塔高度的故事：

古希腊哲学家泰勒斯在游历埃及金字塔时，想测量金字塔的高度。他在阳光下观察自己的影子，当影子的长度和他的身高相等时，他立刻测量出金字塔影子的长度，从而得出金字塔的高度。

2.引导学生分析泰勒斯测量金字塔高度的原理：

-让学生思考在这个过程中，存在哪些相似三角形？

-学生小组讨论后回答：人与影子构成的三角形和金字塔与它的影子构成的三角形相似。

-因为同一时刻，太阳光线是平行的，所以这两个三角形的三个角分别相等，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得这两个三角形相似。

-设金字塔的高度为h，人的身高为a，人的影子长为b，金字塔影子长为c，则有\(\frac{h}{c}=\frac{a}{b}\)，所以\(h=\frac{ac}{b}\)。

3.总结：泰勒斯巧妙地利用相似三角形的原理解决了测量金字塔高度的难题，展示了数学在古代实际问题中的强大应用。

（四）例题讲解（15分钟）

例1：如图，为了测量一条河流的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，求河的宽度AB。

1.引导学生分析题目：

-提问学生：题目中存在哪些相似三角形？

-学生观察后回答：△ABE和△DCE相似。

-为什么这两个三角形相似？

-学生回答：因为AB⊥BC，CD⊥BC，所以∠ABE=∠DCE=90°，又因为∠AEB=∠DEC（对顶角相等），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABE∽△DCE。

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