半角模型(初中数学必威体育精装版半角模型专题).pptx

几何模型一：半角模型

如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过逆时针旋转后到△ACP位置，则旋转中心是______，旋转角等于_____，AD与AP的夹角是______，△ADP是______三角形。点A60°等边60°知识的回顾：旋转的应用

类型一、正方形中夹半角模型（45°）例1.如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°求证：EF＝BE+DF；

E′45°FCABDE213变式１画板结论：EF=BE+DF

F′45°FCABDE213结论：EF=BE+DF逆变式１画板

变式1.如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的长．变式练习

变式2.在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝20，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．变式练习解：过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE，在直角梯形ABCD中∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG＝BC＝12，∵∠DCE＝45°，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD．∴ED＝DF．∴DE＝GF+DG＝BE+GD，设DE＝x，则DG＝x﹣4，∴AD＝16﹣x在Rt△AED中，∵DE2＝AD2+AE2，∴x2＝（16﹣x）2+82∴x＝10，即DE＝10．

变式3.已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°．求证：MN＝DN﹣BM．变式练习证明：如图，在DN上截取DE＝MB，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，在△ABM与△ADE中，∴△ABM≌△ADE（SAS），∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．

?．变式练习

例2.如图所示，过正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的内部作∠EAF＝45°，E、F分别在BC、CD上，连接EF，作AH⊥EF于点H,求证：AH＝AB．证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，由旋转的性质得，DF＝BG，AF＝AG，∠DAF＝∠BAG．∵∠FAG＝∠BAG+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠EAG＝45°．在△AEF和△AEG中，∴△AEF≌△AEG（SAS），∵AH、AB分别是△AEF和△AEG对应边上的高，∴AH＝AB．

变式1.已知△AMN中，∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝3，NH＝7，求AH的长．变式练习

变式2.已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：AH＝AB．变式练习

类型二、等腰直角三角形中的夹半角模型（45°）例3.已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE＝45°，证明：DE2＝BE2+AD2证明如下：如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，把△BCE绕点C逆时针旋转90°至△ACF，连接DF，则△BCE≌△ACF，∴AF＝BE，∠CAF＝∠B＝45°，CF＝CE，∴∠DAF＝∠CAF+∠BAC＝90°，在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF2＝AF2+AD2＝BE2+AD2，∴∠DCF＝∠ECF﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DE＝DF，∴DE2＝BE2+AD2．

变式1.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为．变式练习

变式2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点．∠BAC＝90°，∠EAF＝135°，证明：EF2＝EC2+BF2变式练习证明：如图3.将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接FG．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△ACE≌△ABG，∴∠CAE＝∠BAG，EC＝BG，∠ACE＝∠ABG＝45°，∴∠CAB＝∠EAG＝90°，∠GBF＝90°，∴∠FAG＝360°﹣∠EAF﹣∠EAG＝360°﹣135°﹣90°＝1