2024_2025学年新教材高中数学第4章对数运算和对数函数1对数的概念学案北师大版必修第一册.docVIP

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对数的概念

学习目标

核心素养

1．理解对数的概念．(重点)

2．驾驭指数式与对数式的互化．(重点)

3．理解并驾驭对数的基本性质．(难点、易混点)

通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习，培育逻辑推理素养与数学运算素养.

1．对数的概念是什么？

2．对数式中底数和真数分别有什么限制？

3．什么是常用对数和自然对数？

4．对数与指数有什么关系？

1．对数的概念

(1)一般地，假如a(a0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

(2)指数式与对数式的互化及有关概念：

(3)底数a的范围是a＞0，且a≠1.

2．常用对数与自然对数

3．对数的基本性质

(1)负数和零没有对数．

(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．

(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．

(4)alogaN＝N.

为什么零和负数没有对数？

[提示]由对数的定义：ax＝N(a＞0且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的状况．

1.若a2＝M(a0，且a≠1)，则其对数式为_____________．

[答案]logaM＝2

2.把对数式loga49＝2写成指数式为________．

[答案]a2＝49

类型1对数的概念

【例1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．

[解]由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋20,1－a0,1－a≠1))，解得－2a0或0a1.

所以实数a的取值范围是(－2,0)∪(0,1)．

正确理解对数的概念

(1)底数大于0且不等于1，真数大于0.

(2)明确指数式和对数式的区分和联系，以及二者之间的相互转化．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

1．若对数log3a(－2a＋1)有意义，则

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))[依据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋10,3a0，,3a≠1))

解得0aeq\f(1,2)，a≠eq\f(1,3).所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).]

类型2指数式与对数式的互化

【例2】求下列各式中x的值：

(1)log16x＝－2；(2)logx27＝eq\f(3,4).

[思路点拨]利用对数的定义，把对数式化为指数式，即可解得x的值．

[解](1)由log16x＝－2，得x＝16－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))2＝eq\f(1,256)，

故x＝eq\f(1,256).

(2)由logx27＝eq\f(3,4)，得xeq\f(3,4)＝27，即xeq\f(3,4)＝33，∴x＝34＝81.

1．首先驾驭指数式与对数式的关系，即ab＝N?b＝logaN.

2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应留意各自的位置及表示方式．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)2－7＝eq\f(1,128)；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)eqlog\s\do5(\f(1,2))32＝－5；(5)lg0.001＝－3.

[解](1)log2eq\f(1,128)＝－7；(2)log327＝3；(3)lg0.1＝－1；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32；(5)10－3＝0.001.

类型3对数的性质

【例3】求下列各式中x的值．

(1)log2(log5x)＝0；

(2)log3(lgx)＝1；

(3)log3(log4(log5x))＝0.

[解](1)∵log2(log5x)＝0，

∴log5x＝20＝1，

∴x＝51＝5.

(2)∵log3(lgx)＝1，

∴lgx＝31＝3，

∴x＝103＝1000.

(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.

1．本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝